Номер 14.34, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.34. Из точек $A$ и $B$, принадлежащих разным граням двугранного угла, опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на его ребро. Найдите данный двугранный угол, если $AC = CD = BD = 2$ см, $AB = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — грани двугранного угла, а $l$ — его ребро. По условию задачи, точка $A$ принадлежит грани $ \alpha $, а точка $B$ — грани $ \beta $. Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BD$ на ребро $l$, то есть $AC \perp l$ и $BD \perp l$, причем точки $C$ и $D$ лежат на ребре $l$.

Величина двугранного угла, которую мы ищем (обозначим ее $ \phi $), по определению равна углу между двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, лежащими в разных гранях и перпендикулярными ребру. Таким образом, $ \phi $ — это угол между направлениями векторов $ \vec{AC} $ и $ \vec{BD} $.

Даны следующие значения: $AC = 2$ см, $CD = 2$ см, $BD = 2$ см, $AB = 2\sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла используем векторный метод. Рассмотрим векторы, соединяющие точки $A, B, C, D$. Вектор $ \vec{AB} $ можно представить как сумму векторов по ломаной $ACDB$:$ \vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB} $

Найдем квадрат длины вектора $ \vec{AB} $ через скалярное произведение:$ AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) \cdot (\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DB}) $Раскрывая скобки по правилу умножения многочленов, получаем:$ AB^2 = \vec{AC}^2 + \vec{CD}^2 + \vec{DB}^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB}) $Заменяя квадраты векторов на квадраты их длин, получаем:$ AB^2 = AC^2 + CD^2 + DB^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{CD}) + 2(\vec{AC} \cdot \vec{DB}) + 2(\vec{CD} \cdot \vec{DB}) $

Проанализируем скалярные произведения в этом выражении:

• По условию, $AC \perp l$. Вектор $ \vec{AC} $ перпендикулярен ребру, а вектор $ \vec{CD} $ лежит на ребре. Следовательно, векторы $ \vec{AC} $ и $ \vec{CD} $ ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю: $ \vec{AC} \cdot \vec{CD} = 0 $.
• Аналогично, $BD \perp l$. Вектор $ \vec{BD} $ (и, следовательно, $ \vec{DB} $) перпендикулярен ребру, а вектор $ \vec{CD} $ лежит на ребре. Значит, они также ортогональны: $ \vec{CD} \cdot \vec{DB} = 0 $.
• Угол между векторами $ \vec{AC} $ и $ \vec{BD} $ равен искомому двугранному углу $ \phi $. Нам нужно найти скалярное произведение $ \vec{AC} \cdot \vec{DB} $. Так как $ \vec{DB} = -\vec{BD} $, то:
  $ \vec{AC} \cdot \vec{DB} = \vec{AC} \cdot (-\vec{BD}) = -(\vec{AC} \cdot \vec{BD}) = -|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos\phi = -AC \cdot BD \cdot \cos\phi $.

Подставим значения скалярных произведений в исходное уравнение:$ AB^2 = AC^2 + CD^2 + BD^2 + 2(0) + 2(-AC \cdot BD \cdot \cos\phi) + 2(0) $$ AB^2 = AC^2 + CD^2 + BD^2 - 2 \cdot AC \cdot BD \cdot \cos\phi $

Теперь подставим известные числовые значения:$ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos\phi $$ 8 = 4 + 4 + 4 - 8 \cos\phi $$ 8 = 12 - 8 \cos\phi $Выразим $ \cos\phi $:$ 8 \cos\phi = 12 - 8 $$ 8 \cos\phi = 4 $$ \cos\phi = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Так как двугранный угол $ \phi $ по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, то из уравнения $ \cos\phi = \frac{1}{2} $ следует, что $ \phi = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$.