Номер 14.41, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.41. Точка $M$ — середина стороны $AB$ правильного треугольника $ABC$, отрезок $DM$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ACD$ и $BCD$, если $AB = 2\sqrt{3}$ см, $DM = 4$ см.

Угол между плоскостями (ACD) и (BCD) — это двугранный угол при ребре CD. Для его нахождения построим линейный угол, который равен мере двугранного угла.

1. В основании лежит правильный треугольник ABC. M — середина стороны AB, следовательно, CM является медианой и высотой треугольника ABC. Отсюда следует, что $CM \perp AB$.

2. По условию задачи, отрезок $DM$ перпендикулярен плоскости ABC. Это означает, что $DM$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $DM \perp AB$ и $DM \perp CM$.

3. Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым (CM и DM) в плоскости CDM. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AB перпендикулярна плоскости (CDM).

4. Из того, что $AB \perp (CDM)$, следует, что прямая AB перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (CDM), в том числе и прямой CD. Таким образом, мы можем построить плоскость, проходящую через AB и перпендикулярную CD.

5. Для построения линейного угла двугранного угла проведем из точки M перпендикуляр MK к прямой CD (точка K принадлежит отрезку CD). Так как прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости (AKB) — прямой MK (по построению) и прямой AB (поскольку $AB \perp (CDM)$), — то прямая CD перпендикулярна плоскости (AKB). Следовательно, $CD \perp AK$ и $CD \perp BK$. Таким образом, угол $\angle AKB$ является линейным углом искомого двугранного угла.

6. Теперь найдем величину этого угла. Для этого вычислим длины необходимых отрезков.
- Сторона правильного треугольника ABC равна $AB = 2\sqrt{3}$ см. Его медиана (являющаяся и высотой) $CM$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}/2$:
$CM = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3$ см.
- Так как $DM \perp (ABC)$, то $DM \perp CM$. Треугольник DMC — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем гипотенузу CD:
$CD = \sqrt{DM^2 + CM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
- Отрезок MK является высотой в прямоугольном треугольнике DMC, проведенной к гипотенузе. Длину этой высоты можно найти через площадь треугольника:
$S_{DMC} = \frac{1}{2} DM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см².
$S_{DMC} = \frac{1}{2} CD \cdot MK \implies MK = \frac{2 \cdot S_{DMC}}{CD} = \frac{2 \cdot 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

7. Рассмотрим треугольник AKB. Поскольку $AB \perp (CDM)$ и $MK \subset (CDM)$, то $MK \perp AB$. Так как M — середина AB, отрезок MK является медианой и высотой треугольника AKB. Следовательно, треугольник AKB — равнобедренный ($AK = BK$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMK ($\angle AMK = 90^\circ$). Его катеты:
$AM = \frac{1}{2} AB = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.
$MK = \frac{12}{5}$ см.
Искомый угол $\angle AKB = 2 \cdot \angle AKM$. Найдем косинус этого угла, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}$.
Сначала найдем тангенс угла $\angle AKM$ ($\alpha$):
$\tan(\angle AKM) = \frac{AM}{MK} = \frac{\sqrt{3}}{12/5} = \frac{5\sqrt{3}}{12}$.
Теперь вычислим квадрат тангенса:
$\tan^2(\angle AKM) = \left(\frac{5\sqrt{3}}{12}\right)^2 = \frac{25 \cdot 3}{144} = \frac{75}{144}$.
Подставим в формулу косинуса двойного угла:
$\cos(\angle AKB) = \frac{1 - \frac{75}{144}}{1 + \frac{75}{144}} = \frac{\frac{144 - 75}{144}}{\frac{144 + 75}{144}} = \frac{69}{219}$.
Сократим дробь на 3: $\frac{69 \div 3}{219 \div 3} = \frac{23}{73}$.

Таким образом, косинус искомого угла равен $\frac{23}{73}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{23}{73}\right)$.