Номер 14.45, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.45. Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью квадрата.

Пусть β — это плоскость квадрата ABCD, а α — заданная плоскость. По условию, диагональ AC квадрата лежит в плоскости α, следовательно, прямая AC является линией пересечения плоскостей α и β.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Пусть H — это основание перпендикуляра, опущенного из точки B на плоскость α. Тогда отрезок AH является проекцией отрезка AB на плоскость α. Угол между прямой AB и плоскостью α — это угол ∠BAH. По условию, ∠BAH = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABH (∠BHA = 90°, так как BH ⊥ α). Обозначим сторону квадрата ABCD как a. Тогда AB = a. Длина катета BH равна:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется величиной линейного угла соответствующего двугранного угла. Чтобы построить этот линейный угол, нужно в точке O на линии пересечения AC провести два перпендикуляра к AC: один в плоскости α, другой в плоскости β. Угол между этими перпендикулярами и будет искомым углом.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BO ⊥ AC. Отрезок BO лежит в плоскости квадрата β.

Поскольку BH — перпендикуляр к плоскости α, а BO — наклонная к этой плоскости, то HO — проекция наклонной BO на плоскость α. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная BO перпендикулярна прямой AC в плоскости α, то и ее проекция HO перпендикулярна этой прямой. Таким образом, HO ⊥ AC, и отрезок HO лежит в плоскости α.

Следовательно, угол ∠BOH является линейным углом двугранного угла между плоскостями β и α. Найдем его величину. Треугольник ΔBOH является прямоугольным, так как BH ⊥ α, а значит, BH ⊥ HO.

Найдем длину гипотенузы BO. BO — это половина диагонали BD. Диагональ квадрата со стороной a равна $a\sqrt{2}$.
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

В прямоугольном треугольнике ΔBOH найдем синус угла ∠BOH:$\sin(\angle BOH) = \frac{BH}{BO} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это 45°. Таким образом, искомый угол между плоскостью квадрата и плоскостью α равен 45°.

Ответ: 45°.