Номер 14.39, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.39. В тетраэдре $DABC$ известно, что $BA = BC = 17$ см, $DA = DC = 25$ см, $BD = 28$ см, $AC = 15\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $BAD$ и $BCD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к их линии пересечения из одной точки. В данном случае плоскости $BAD$ и $BCD$ пересекаются по прямой $BD$.

Рассмотрим треугольники $BAD$ и $BCD$.В них:

• $BA = BC = 17$ см (по условию)
• $DA = DC = 25$ см (по условию)
• $BD$ — общая сторона

Следовательно, треугольник $BAD$ равен треугольнику $BCD$ по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).

Проведем в плоскости $BAD$ высоту $AH$ к стороне $BD$. Тогда $AH \perp BD$.Так как $\triangle BAD = \triangle BCD$, то и их соответствующие высоты, проведенные к стороне $BD$, равны. Проведем в плоскости $BCD$ высоту $CH$ к стороне $BD$. Тогда $CH \perp BD$ и $AH = CH$.

Угол между плоскостями $BAD$ и $BCD$ равен линейному углу двугранного угла, то есть углу $\angle AHC$. Чтобы найти этот угол, найдем стороны треугольника $AHC$.

Найдем длину высоты $AH$ в треугольнике $BAD$. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $BAD$ по формуле Герона. Стороны треугольника равны $17$ см, $25$ см и $28$ см.Полупериметр $p$ равен:$p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

Площадь $S_{BAD}$ треугольника $BAD$:$S_{BAD} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)}$$S_{BAD} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 = 210$ см².

С другой стороны, площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту:$S_{BAD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$$210 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot AH$$210 = 14 \cdot AH$$AH = \frac{210}{14} = 15$ см.

Так как $AH = CH$, то $CH = 15$ см.Теперь рассмотрим треугольник $AHC$. Мы знаем все его стороны: $AH = 15$ см, $CH = 15$ см, $AC = 15\sqrt{3}$ см.Найдем угол $\angle AHC$ по теореме косинусов:$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\angle AHC)$$(15\sqrt{3})^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(\angle AHC)$$225 \cdot 3 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot \cos(\angle AHC)$$675 = 450 - 450 \cdot \cos(\angle AHC)$$450 \cdot \cos(\angle AHC) = 450 - 675$$450 \cdot \cos(\angle AHC) = -225$$\cos(\angle AHC) = \frac{-225}{450} = -\frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\angle AHC = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.