Номер 14.35, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.35. Концы отрезка $CD$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $30^\circ$. Из точек $C$ и $D$ опустили перпендикуляры $CE$ и $DF$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $CE$, если $CD = 5$ см, $DF = 4\sqrt{3}$ см, $EF = 2$ см.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$. Точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $D$ — в плоскости $\beta$. По условию, $CE \perp l$ и $DF \perp l$, где $E$ и $F$ — точки на ребре $l$. Угол между плоскостями равен $30^{\circ}$. Даны длины: $CD = 5$ см, $DF = 4\sqrt{3}$ см, $EF = 2$ см. Найти нужно длину отрезка $CE$.

Для решения задачи используем метод проекций или вспомогательное построение. Выполним параллельный перенос отрезка $DF$ на вектор $\vec{FE}$. Точка $F$ перейдет в точку $E$, а точка $D$ — в некоторую точку $D'$.

В результате этого переноса мы получим четырехугольник $D'DFE$, который является прямоугольником, так как $DF \perp FE$ (поскольку $DF$ перпендикулярен ребру $l$, на котором лежит $FE$). Следовательно, $D'E = DF = 4\sqrt{3}$ см и $D'D = FE = 2$ см. Также $D'D \parallel FE$, то есть отрезок $D'D$ параллелен ребру двугранного угла $l$.

Рассмотрим треугольник $CDD'$. Так как отрезок $D'D$ параллелен ребру $l$, а отрезки $CE$ и $D'E$ по построению перпендикулярны ребру $l$, то плоскость треугольника $CED'$ перпендикулярна прямой $D'D$. Это означает, что любой отрезок в этой плоскости, в частности $CD'$, будет перпендикулярен $D'D$. Таким образом, треугольник $CDD'$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CD'D$.

По теореме Пифагора для треугольника $CDD'$:

$CD^2 = (CD')^2 + (D'D)^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = (CD')^2 + 2^2$

$25 = (CD')^2 + 4$

$(CD')^2 = 25 - 4 = 21$

Теперь рассмотрим треугольник $CED'$. Он лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $l$. Угол $\angle CED'$ в этом треугольнике является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle CED' = 30^{\circ}$. Стороны этого треугольника: $CE$ (искомая длина, обозначим ее за $x$), $D'E = 4\sqrt{3}$ см, и мы нашли квадрат стороны $CD'$.

Применим теорему косинусов для треугольника $CED'$:

$(CD')^2 = CE^2 + (D'E)^2 - 2 \cdot CE \cdot D'E \cdot \cos(\angle CED')$

Подставим известные значения и обозначения:

$21 = x^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})$

Упростим выражение:

$21 = x^2 + 16 \cdot 3 - 8\sqrt{3} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$21 = x^2 + 48 - 8 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$

$21 = x^2 + 48 - 12x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 12x + 48 - 21 = 0$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 9.

$x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Оба корня положительные, следовательно, оба могут являться длиной отрезка. Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $3$ см или $9$ см.