Номер 14.40, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.40. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AC = AB = 15$ см, $DB = DC = 13$ см, $AD = 14$ см, $BC = 12\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостями $BAD$ и $CAD$.

Угол между плоскостями $BAD$ и $CAD$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линия пересечения данных плоскостей — ребро $AD$. Чтобы построить линейный угол, нужно в каждой плоскости провести перпендикуляр к линии пересечения $AD$ в одной и той же точке.

Рассмотрим грань $ABD$, которая является треугольником со сторонами $AB=15$ см, $DB=13$ см, $AD=14$ см.Рассмотрим грань $ACD$, которая является треугольником со сторонами $AC=15$ см, $DC=13$ см, $AD=14$ см.Поскольку $AB=AC$, $DB=DC$ и сторона $AD$ общая, то треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по трем сторонам (SSS).

Проведем в треугольнике $ABD$ высоту $BH$ к стороне $AD$. Тогда $BH \perp AD$.Поскольку $\triangle ABD = \triangle ACD$, то высота $CH$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AD$ в треугольнике $ACD$, будет равна высоте $BH$ и будет падать в ту же точку $H$ на ребре $AD$. Таким образом, $CH \perp AD$ и $BH = CH$.

Угол $\angle BHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $BAD$ и $CAD$. Чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник $BHC$. В этом треугольнике нам известна сторона $BC = 12\sqrt{2}$ см, и мы можем найти длины сторон $BH$ и $CH$.

Найдем длину высоты $BH$ в треугольнике $ABD$. Для этого сначала вычислим площадь треугольника $ABD$ по формуле Герона.Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{AB + DB + AD}{2} = \frac{15 + 13 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Площадь треугольника $ABD$:$S_{ABD} = \sqrt{p(p-AB)(p-DB)(p-AD)} = \sqrt{21(21-15)(21-13)(21-14)}$$S_{ABD} = \sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BH$$84 = 7 \cdot BH$$BH = \frac{84}{7} = 12$ см.

Так как $BH = CH$, то $CH = 12$ см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника $BHC$: $BH=12$ см, $CH=12$ см, $BC=12\sqrt{2}$ см.Для нахождения угла $\angle BHC$ воспользуемся теоремой косинусов:$BC^2 = BH^2 + CH^2 - 2 \cdot BH \cdot CH \cdot \cos(\angle BHC)$$(12\sqrt{2})^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(\angle BHC)$$144 \cdot 2 = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \cos(\angle BHC)$$288 = 288 - 288 \cdot \cos(\angle BHC)$$0 = -288 \cdot \cos(\angle BHC)$$\cos(\angle BHC) = 0$Следовательно, $\angle BHC = 90^\circ$.

Заметим, что для треугольника $BHC$ выполняется теорема, обратная теореме Пифагора:$BH^2 + CH^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$$BC^2 = (12\sqrt{2})^2 = 144 \cdot 2 = 288$Поскольку $BH^2 + CH^2 = BC^2$, треугольник $BHC$ является прямоугольным, и $\angle BHC = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.