Номер 14.37, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.37. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $BMD$ и $A_1BD$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его нахождения можно построить линейный угол двугранного угла.
Плоскости $(BMD)$ и $(A_1BD)$ пересекаются по прямой $BD$. Построим линейный угол двугранного угла с ребром $BD$.
Рассмотрим треугольник $BMD$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то его грани являются квадратами. Треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle DCM$ — прямоугольные. $BC = DC$ (как рёбра куба), $CM$ — общий катет. Следовательно, $\triangle BCM = \triangle DCM$ по двум катетам, откуда $MB = MD$. Таким образом, треугольник $BMD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
Рассмотрим треугольник $A_1BD$. $A_1B$ и $A_1D$ — диагонали равных граней куба ($ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$), поэтому $A_1B = A_1D$. Таким образом, треугольник $A_1BD$ также является равнобедренным с основанием $BD$.
Пусть точка $O$ — середина диагонали $BD$. В равнобедренных треугольниках $BMD$ и $A_1BD$ медианы $MO$ и $A_1O$, проведённые к основанию $BD$, являются также и высотами. Это означает, что $MO \perp BD$ и $A_1O \perp BD$.
По определению, угол между плоскостями $(BMD)$ и $(A_1BD)$ равен углу между прямыми $MO$ и $A_1O$, то есть углу $\angle MOA_1$.
Для нахождения величины этого угла найдём длины сторон треугольника $MOA_1$. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$ и осями, направленными вдоль рёбер $AB$ (ось $x$), $AD$ (ось $y$) и $AA_1$ (ось $z$). Пусть длина ребра куба равна $a$.
Координаты вершин и точек:
$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $C_1(a, a, a)$, $A_1(0, 0, a)$.
Точка $M$ — середина ребра $CC_1$, её координаты: $M\left(\frac{a+a}{2}, \frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = M(a, a, a/2)$.
Точка $O$ — середина отрезка $BD$, её координаты: $O\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = O(a/2, a/2, 0)$.
Теперь найдём квадраты длин сторон треугольника $MOA_1$ по формуле расстояния между точками $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$:
$A_1O^2 = (a/2 - 0)^2 + (a/2 - 0)^2 + (0 - a)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{2a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2}$.
$MO^2 = (a/2 - a)^2 + (a/2 - a)^2 + (0 - a/2)^2 = (-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
$A_1M^2 = (a - 0)^2 + (a - 0)^2 + (a/2 - a)^2 = a^2 + a^2 + (-\frac{a}{2})^2 = 2a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$.
Проверим, выполняется ли для треугольника $MOA_1$ теорема Пифагора:
$A_1O^2 + MO^2 = \frac{3a^2}{2} + \frac{3a^2}{4} = \frac{6a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$.
Мы видим, что $A_1O^2 + MO^2 = A_1M^2$.
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $MOA_1$ является прямоугольным, причём прямой угол находится напротив самой длинной стороны $A_1M$, то есть $\angle MOA_1 = 90^\circ$.
Следовательно, угол между плоскостями $(BMD)$ и $(A_1BD)$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.