Номер 14.32, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.32. Треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях, $AB = BC = AD = CD = 4$ см, $AC = 6$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки. В данном случае плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ пересекаются по прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC = 4$ см, он является равнобедренным. Проведем медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$, так как $AD = CD = 4$ см, он также является равнобедренным. Проведем медиану $DM$ к основанию $AC$. Эта медиана также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

Поскольку оба отрезка $BM$ и $DM$ перпендикулярны общей прямой $AC$ и выходят из одной точки $M$ на этой прямой, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ADC)$. Найдем величину этого угла.

Для этого найдем длины сторон треугольника $BMD$. По условию, $BD = \sqrt{21}$ см.

Найдем длину $BM$. Точка $M$ является серединой $AC$, поэтому $AM = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $\angle AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $BM^2 = AB^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Отсюда $BM = \sqrt{7}$ см.

Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по трем сторонам ($AB=AD=4$, $BC=CD=4$, $AC$ — общая сторона). Следовательно, их высоты, проведенные к общей стороне $AC$, равны: $DM = BM = \sqrt{7}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $BMD$: $BM = \sqrt{7}$ см, $DM = \sqrt{7}$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Чтобы найти угол $\angle BMD$, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $BMD$: $BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2 \cdot BM \cdot DM \cdot \cos(\angle BMD)$ $(\sqrt{21})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\angle BMD)$ $21 = 7 + 7 - 2 \cdot 7 \cdot \cos(\angle BMD)$ $21 = 14 - 14 \cdot \cos(\angle BMD)$ $14 \cdot \cos(\angle BMD) = 14 - 21$ $14 \cdot \cos(\angle BMD) = -7$ $\cos(\angle BMD) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$

Из полученного значения косинуса находим угол: $\angle BMD = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.