Номер 14.33, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.33. Точки $A$ и $C$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $120^\circ$. Из точки $A$ опустили перпендикуляр $AB$, а из точки $C$ — перпендикуляр $CD$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $AC$, если $AB = 7$ см, $BD = 3$ см, $CD = 11$ см.

Для решения задачи используем метод пространственного построения. Пусть $l$ - ребро двугранного угла. По условию, точки $A$ и $C$ лежат в разных гранях. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AB$ и $CD$ на ребро $l$. Это означает, что $B, D \in l$, $AB \perp l$ и $CD \perp l$.

1. Проведем через точку $C$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную ребру $l$. Так как $CD \perp l$, отрезок $CD$ лежит в этой плоскости $\alpha$.

2. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $AA'$ будет параллелен ребру $l$ и перпендикулярен плоскости $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию между точками $B$ и $D$ на ребре, то есть $AA' = BD = 3$ см.

3. Поскольку $AA'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, в которой лежит отрезок $A'C$, то треугольник $AA'C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$. По теореме Пифагора, квадрат искомого расстояния $AC$ равен:

$AC^2 = AA'^2 + A'C^2$

4. Теперь найдем длину отрезка $A'C$. Точки $A'$, $D$ и $C$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольник $A'DC$ в этой плоскости.

• Сторона $CD$ нам известна: $CD = 11$ см.
• Сторона $DA'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ при параллельном переносе вдоль ребра $l$. Следовательно, $DA' = AB = 7$ см.
• Угол $\angle A'DC$ в плоскости $\alpha$ является линейным углом двугранного угла, так как лучи $DA'$ и $DC$ лежат в разных гранях (или параллельны соответствующим лучам в гранях), исходят из одной точки $D$ на ребре и перпендикулярны ему. По условию, этот угол равен $120^\circ$.

5. Применим теорему косинусов для треугольника $A'DC$, чтобы найти квадрат стороны $A'C$:

$A'C^2 = DA'^2 + DC^2 - 2 \cdot DA' \cdot DC \cdot \cos(\angle A'DC)$

$A'C^2 = 7^2 + 11^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$A'C^2 = 49 + 121 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot (-1/2)$

$A'C^2 = 170 + 77 = 247$

6. Теперь вернемся к треугольнику $AA'C$ и подставим найденные значения:

$AC^2 = AA'^2 + A'C^2$

$AC^2 = 3^2 + 247 = 9 + 247 = 256$

7. Находим длину отрезка $AC$:

$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.