Номер 14.43, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.43. Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $60^\circ$. Известно, что $AC = 1$ см, $BC = \sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Пусть $ABC$ — данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Катеты $AC = 1$ см и $BC = \sqrt{2}$ см. Гипотенуза $AB$ лежит в плоскости $\alpha$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$.

Требуется найти угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

1. Проведём из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к плоскости $\alpha$. Тогда точка $H$ является проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекциями на эту плоскость являются они сами. Следовательно, прямая $AH$ является проекцией прямой $AC$ на плоскость $\alpha$. Искомый угол — это $\angle CAH$. Обозначим его $\phi$.

2. В прямоугольном треугольнике $CHA$ (угол $\angle CHA = 90^\circ$, так как $CH \perp \alpha$), синус искомого угла $\phi$ равен отношению противолежащего катета $CH$ к гипотенузе $AC$:

$\sin \phi = \frac{CH}{AC}$

Поскольку $AC = 1$, то $\sin \phi = CH$. Нам нужно найти длину перпендикуляра $CH$.

3. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ — это двугранный угол между ними. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$. Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, построим перпендикуляры к линии пересечения $AB$ в обеих плоскостях, исходящие из одной точки.

Проведём в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CD$ к гипотенузе $AB$. Таким образом, $CD \perp AB$.

Соединим точки $H$ и $D$. Отрезок $HD$ является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как наклонная $CD$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то и её проекция $HD$ перпендикулярна этой прямой: $HD \perp AB$.

Таким образом, $\angle CDH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, $\angle CDH = 60^\circ$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDH$ ($\angle CHD = 90^\circ$). В нём $CH$ является катетом. Мы можем выразить $CH$ через $CD$:

$CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = CD \cdot \sin(60^\circ) = CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь найдём длину высоты $CD$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Сначала по теореме Пифагора найдём длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$

$AB = \sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot CD$

Приравняем эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot CD = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{3} \cdot CD = \sqrt{2}$

$CD = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

6. Подставим найденное значение $CD$ в формулу для $CH$:

$CH = CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

7. Наконец, найдём искомый угол $\phi$ из треугольника $CHA$:

$\sin \phi = \frac{CH}{AC} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $45^\circ$.

$\phi = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.