Номер 14.13, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.13. Даны плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$. Сколько плоскостей можно провести через прямую $a$ таких, что угол $\varphi$ между плоскостью $\alpha$ и проведённой плоскостью удовлетворяет условию:

1) $\varphi = 90^\circ$;

2) $\varphi = 0^\circ$;

3) $0^\circ < \varphi < 90^\circ$?

Пусть дана плоскость $\alpha$ и параллельная ей прямая $a$, не лежащая в этой плоскости. Все плоскости, проходящие через прямую $a$, образуют пучок плоскостей с осью $a$. Угол $\phi$ между любой такой плоскостью и плоскостью $\alpha$ может принимать значения от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Нам нужно найти количество плоскостей, проходящих через прямую $a$ и перпендикулярных плоскости $\alpha$. Такая плоскость должна содержать перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Выберем на прямой $a$ любую точку $M$ и опустим из нее перпендикуляр $MP$ на плоскость $\alpha$. Так как прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней, точка $P$ не будет лежать на прямой $a$. Через прямую $a$ и точку $P$, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать прямую $a$ и перпендикуляр $MP$ к плоскости $\alpha$, а значит, она будет перпендикулярна плоскости $\alpha$. Следовательно, существует ровно одна такая плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Нам нужно найти количество плоскостей, проходящих через прямую $a$ и параллельных плоскости $\alpha$, так как угол между параллельными плоскостями равен $0^\circ$. По теореме о существовании плоскости, параллельной данной, через прямую, параллельную плоскости, проходит одна и только одна плоскость, параллельная данной. Поскольку по условию прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то существует единственная плоскость, которая проходит через прямую $a$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Ответ: одна плоскость.

Рассмотрим все плоскости, проходящие через прямую $a$. Как было показано выше, среди них есть одна плоскость, для которой угол $\phi = 0^\circ$ (параллельная), и одна плоскость, для которой $\phi = 90^\circ$ (перпендикулярная). Любая другая плоскость, проходящая через прямую $a$, будет пересекать плоскость $\alpha$ под некоторым углом $\phi$, где $0^\circ < \phi < 90^\circ$. Можно представить себе вращение плоскости вокруг прямой $a$ как оси. Начиная с положения, параллельного $\alpha$ ($\phi=0^\circ$), при вращении в любую сторону угол с плоскостью $\alpha$ будет непрерывно изменяться, принимая все значения из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$. Для каждого конкретного значения угла $\phi_0$ из этого интервала ($0^\circ < \phi_0 < 90^\circ$) существуют две различные плоскости, образующие такой угол с плоскостью $\alpha$ (симметричные относительно плоскости, проходящей через $a$ параллельно $\alpha$). Поскольку существует бесконечное множество действительных чисел в интервале $(0, 90)$, то существует и бесконечно много плоскостей, угол которых с плоскостью $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \phi < 90^\circ$.

Ответ: бесконечно много.