Номер 13.33, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.33. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой $C_1D$ и плоскостью $ACC_1$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$. Чтобы найти угол между прямой $C_1D$ и плоскостью $ACC_1$, мы построим проекцию прямой $C_1D$ на эту плоскость. Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$.

Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $ACC_1$, поэтому она проецируется сама в себя.

Для нахождения проекции точки $D$ на плоскость $ACC_1$ опустим на неё перпендикуляр. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, его диагонали перпендикулярны, то есть $BD \perp AC$. Также, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит и прямой $BD$, лежащей в этой плоскости: $CC_1 \perp BD$. Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $CC_1$) в плоскости $ACC_1$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда отрезок $DO$ является перпендикуляром из точки $D$ к плоскости $ACC_1$, а точка $O$ — проекцией точки $D$ на эту плоскость.

Следовательно, проекцией прямой $C_1D$ на плоскость $ACC_1$ является прямая $C_1O$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $C_1D$ и её проекцией $C_1O$, то есть $\alpha = \angle DC_1O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DC_1O$. Так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ACC_1$, а прямая $C_1O$ лежит в этой плоскости, то $DO \perp C_1O$. Значит, $\triangle DC_1O$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $O$.

Найдём длины катета $DO$ и гипотенузы $C_1D$.

$C_1D$ — это диагональ грани куба $CDD_1C_1$, которая является квадратом со стороной $a$. Её длина равна $C_1D = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$DO$ — это половина диагонали основания $BD$. Диагональ квадрата $ABCD$ равна $BD = a\sqrt{2}$. Значит, $DO = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle DC_1O$ синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $DO$ к гипотенузе $C_1D$:

$ \sin(\alpha) = \frac{DO}{C_1D} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2} $

Так как угол между прямой и плоскостью по определению острый, находим $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.