Номер 13.32, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.32. Точка K — середина ребра AD прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямой $C_1K$ и плоскостью $DAA_1$, если $AD = 2\sqrt{2}$ см, $DC = 3$ см, $DD_1 = 1$ см.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $C_1K$ на плоскость $DAA_1$.

Для этого спроецируем точки $C_1$ и $K$ на плоскость $DAA_1$.Точка $K$ является серединой ребра $AD$. Так как ребро $AD$ лежит в плоскости $DAA_1$, то проекцией точки $K$ на эту плоскость является сама точка $K$.

Чтобы найти проекцию точки $C_1$ на плоскость $DAA_1$, нужно опустить перпендикуляр из точки $C_1$ на эту плоскость. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $D_1C_1$ перпендикулярно граням $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Это следует из того, что $D_1C_1 \perp DD_1$ и $D_1C_1 \perp A_1D_1$. Следовательно, отрезок $C_1D_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C_1$ на плоскость $DAA_1$, а точка $D_1$ — проекцией точки $C_1$ на эту плоскость.

Таким образом, проекцией прямой $C_1K$ на плоскость $DAA_1$ является прямая $D_1K$. Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $C_1K$ и её проекцией $D_1K$, то есть $\alpha = \angle C_1KD_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1D_1K$. Поскольку $C_1D_1$ является перпендикуляром к плоскости $DAA_1$, а прямая $D_1K$ лежит в этой плоскости, то $C_1D_1 \perp D_1K$. Это означает, что $\triangle C_1D_1K$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $D_1$.

Найдём длины катетов этого треугольника.Длина катета $C_1D_1$ равна длине ребра $DC$. По условию $DC = 3$ см, значит, $C_1D_1 = 3$ см.

Длину катета $D_1K$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle DD_1K$, который лежит в плоскости грани $DAA_1D_1$ (угол $\angle D_1DK = 90^\circ$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$).По условию, $K$ — середина ребра $AD$, и $AD = 2\sqrt{2}$ см. Следовательно, $DK = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.Высота параллелепипеда $DD_1 = 1$ см.По теореме Пифагора для $\triangle DD_1K$:$D_1K^2 = DD_1^2 + DK^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.Отсюда $D_1K = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длины обоих катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1D_1K$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle C_1KD_1$:$\text{tg}(\angle C_1KD_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{C_1D_1}{D_1K} = \frac{3}{\sqrt{3}}$.

Упростим выражение:$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.Итак, $\text{tg}(\angle C_1KD_1) = \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $60^\circ$.

Следовательно, искомый угол между прямой $C_1K$ и плоскостью $DAA_1$ равен $60^\circ$.Ответ: $60^\circ$.