Номер 13.20, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.20. Точка $P$, равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$ принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$, если $AC = 12$ см, $BC = 16$ см.

Пусть $O$ - проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $PO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, и его длина равна расстоянию от точки $P$ до этой плоскости. По условию, $PO = 4\sqrt{2}$ см.

Углом между прямой $PC$ и плоскостью $(ABC)$ называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой $PC$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $OC$. Следовательно, искомый угол - это $\angle PCO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle POC$. Поскольку $PO \perp (ABC)$, то $PO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OC$. Значит, $\triangle POC$ - прямоугольный с прямым углом $\angle POC$. В этом треугольнике мы можем найти искомый угол по его тангенсу: $\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC}$.

Для нахождения длины $OC$ определим положение точки $O$. По условию, точка $P$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Пусть $PK \perp AC$, $PL \perp BC$ и $PM \perp AB$ - перпендикуляры от точки $P$ к прямым, содержащим стороны треугольника. Тогда $PK = PL = PM$.

Отрезки $OK$, $OL$ и $OM$ являются проекциями наклонных $PK$, $PL$ и $PM$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонные перпендикулярны сторонам треугольника, то и их проекции перпендикулярны этим сторонам: $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$, $\triangle POL$ и $\triangle POM$. Они имеют общий катет $PO$ и равные гипотенузы ($PK = PL = PM$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OK = OL = OM$.

Равенство $OK = OL = OM$ означает, что точка $O$ равноудалена от сторон треугольника $ABC$. Так как по условию проекция $O$ лежит внутри треугольника, $O$ является центром вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Длина отрезков $OK$, $OL$, $OM$ равна радиусу этой окружности $r$.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности. Треугольник $ABC$ - прямоугольный с катетами $AC=12$ см и $BC=16$ см. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза:

$r = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{12+16-20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь найдем расстояние $OC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), если поместить вершину $C$ в начало координат, то катеты $AC$ и $BC$ лягут на оси координат. Центр вписанной окружности $O$ будет иметь координаты $(r, r)$, то есть $O(4, 4)$.

Расстояние от точки $C(0,0)$ до точки $O(4,4)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$OC = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle POC$. Мы знаем длины обоих катетов: $PO = 4\sqrt{2}$ см (по условию) и $OC = 4\sqrt{2}$ см (вычислено). Найдем тангенс угла $\angle PCO$:

$\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, $\angle PCO = 45^\circ$.

Ответ: 45°.