Номер 13.13, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.13. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, образующие с данной плоскостью углы, равные $30^{\circ}$. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\alpha$ равен $120^{\circ}$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $DA = 2$ см.

Пусть $D$ — точка, из которой проведены наклонные, а $\alpha$ — плоскость. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ является основанием перпендикуляра, а отрезки $HA$ и $HB$ — проекциями наклонных $DA$ и $DB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию, наклонные $DA$ и $DB$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы, равные $30^\circ$. Следовательно, $\angle DAH = 30^\circ$ и $\angle DBH = 30^\circ$.

Треугольники $\triangle DHA$ и $\triangle DHB$ являются прямоугольными, так как $DH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой в этой плоскости ($DH \perp HA$ и $DH \perp HB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHA$. Нам известна длина гипотенузы $DA = 2$ см и острый угол $\angle DAH = 30^\circ$. Мы можем найти длину проекции $HA$: $HA = DA \cdot \cos(\angle DAH) = 2 \cdot \cos(30^\circ)$. Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $HA = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Поскольку наклонные $DA$ и $DB$ образуют равные углы с плоскостью $\alpha$, их проекции на эту плоскость равны. Таким образом, $HB = HA = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AHB$, который лежит в плоскости $\alpha$. Нам известны длины двух его сторон ($HA = \sqrt{3}$ см и $HB = \sqrt{3}$ см) и угол между ними, который по условию равен $120^\circ$ ($\angle AHB = 120^\circ$). Искомое расстояние между основаниями наклонных — это длина стороны $AB$ этого треугольника.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle AHB$: $AB^2 = HA^2 + HB^2 - 2 \cdot HA \cdot HB \cdot \cos(\angle AHB)$.

Подставим известные значения: $AB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$.

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим: $AB^2 = 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$. $AB^2 = 6 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$. $AB^2 = 6 + 3 = 9$.

Отсюда находим длину $AB$: $AB = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.