gdz.top
Номер 13.9, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью - номер 13.9, страница 149.
№13.8
№13.9 (с. 149)
Условие. №13.9 (с. 149)
13.9. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Решение. №13.9 (с. 149)
Решение 2. №13.9 (с. 149)
Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ к плоскости $\alpha$ две равные наклонные $AB$ и $AC$, где $B$ и $C$ – точки на плоскости $\alpha$. По условию, $AB = AC$.
Требуется доказать, что углы, которые эти наклонные образуют с плоскостью $\alpha$, равны.
Доказательство:
1. Проведём из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$, где $H$ – основание перпендикуляра.
2. Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.
3. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ – это $\angle ABH$, а угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ – это $\angle ACH$. Нам необходимо доказать, что $\angle ABH = \angle ACH$.
4. Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Так как $AH$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.
5. Сравним эти прямоугольные треугольники:
- $AB = AC$ (гипотенузы) по условию, так как наклонные равны.
- $AH$ – общий катет для обоих треугольников.
6. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по гипотенузе и катету.
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов: $\angle ABH = \angle ACH$.
Это и доказывает, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 13.9 расположенного на странице 149 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №13.9 (с. 149), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.