Страница 148 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Углом между прямой и плоскостью, которая пересекает эту прямую, называют угол между самой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Чтобы геометрически определить и найти этот угол, выполняют следующие шаги:

1. Пусть прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$.
2. На прямой $l$ выбирают произвольную точку $A$, отличную от $M$.
3. Из точки $A$ опускают перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра.
4. Прямая, проходящая через точки $M$ и $H$, является ортогональной проекцией прямой $l$ на плоскость $\alpha$. Обозначим её $l'$.
5. Искомый угол $\phi$ между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между прямой $l$ и её проекцией $l'$, то есть $\phi = \angle AMH$. Этот угол находится в прямоугольном треугольнике $\triangle AMH$ (с прямым углом при вершине $H$).

Величина угла между прямой и плоскостью всегда находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$ включительно, то есть $0^\circ \le \phi \le 90^\circ$.

Рассматривают следующие частные случаи:

• Если прямая параллельна плоскости ($l \parallel \alpha$) или лежит в ней ($l \subset \alpha$), то угол между ними по определению равен $0^\circ$.
• Если прямая перпендикулярна плоскости ($l \perp \alpha$), то её проекцией на плоскость является точка (точка их пересечения $M$). В этом случае угол между прямой и плоскостью по определению равен $90^\circ$.

Ответ: Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость.

13.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $O$ — центр грани $ABCD$ (рис. 13.7).

Укажите угол между:

1) прямой $AB_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$;

2) прямой $AC_1$ и плоскостью $ABC$;

3) прямой $AC_1$ и плоскостью $CDD_1$;

4) прямой $OA_1$ и плоскостью $ABC$;

5) прямой $AC$ и плоскостью $ADD_1$.

Рис. 13.7

1) Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Прямая $AB_1$ пересекает плоскость $A_1B_1C_1$ в точке $B_1$. Для нахождения проекции прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$, нужно найти проекцию точки $A$ на эту плоскость. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, то ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $A_1B_1C_1$. Следовательно, точка $A_1$ является проекцией точки $A$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Тогда прямая $A_1B_1$ является проекцией прямой $AB_1$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AB_1$ и её проекцией $A_1B_1$, то есть $\angle AB_1A_1$.
Ответ: $\angle AB_1A_1$.

2) Прямая $AC_1$ (диагональ куба) пересекает плоскость $ABC$ (плоскость нижнего основания) в точке $A$. Проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является точка $C$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Таким образом, проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $AC$ (диагональ основания). Искомый угол — это угол между наклонной $AC_1$ и её проекцией $AC$, то есть $\angle C_1AC$.
Ответ: $\angle C_1AC$.

3) Прямая $AC_1$ пересекает плоскость боковой грани $CDD_1$ в точке $C_1$. Чтобы найти проекцию прямой $AC_1$ на эту плоскость, найдём проекцию точки $A$. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $CD$ (так как грань $ABCD$ — квадрат) и ребру $DD_1$ (так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$). Поскольку $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($CD$ и $DD_1$) в плоскости $CDD_1$, то $AD$ перпендикулярно всей плоскости $CDD_1$. Значит, точка $D$ является проекцией точки $A$ на плоскость $CDD_1$. Проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $CDD_1$ будет прямая $DC_1$. Искомый угол — это угол между прямой $AC_1$ и её проекцией $DC_1$, то есть $\angle AC_1D$.
Ответ: $\angle AC_1D$.

4) Прямая $OA_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $O$. Проекцией точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является точка $A$, так как ребро $A_1A$ перпендикулярно этой плоскости. Проекцией точки $O$ на плоскость $ABC$ является сама точка $O$, так как она лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией прямой $OA_1$ на плоскость $ABC$ является прямая $OA$. Искомый угол — это угол между наклонной $OA_1$ и её проекцией $OA$, то есть $\angle A_1OA$.
Ответ: $\angle A_1OA$.

5) Прямая $AC$ пересекает плоскость боковой грани $ADD_1$ в точке $A$. Для нахождения проекции прямой $AC$ на эту плоскость, найдём проекцию точки $C$. Ребро $CD$ перпендикулярно ребру $AD$ (так как грань $ABCD$ — квадрат). Также ребро $CD$ перпендикулярно ребру $A_1A$, так как $A_1A$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Поскольку $CD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым ($AD$ и $A_1A$) в плоскости $ADD_1$, то $CD$ перпендикулярно всей плоскости $ADD_1$. Таким образом, точка $D$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ADD_1$. Проекцией прямой $AC$ на плоскость $ADD_1$ является прямая $AD$. Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AD$, то есть $\angle CAD$.
Ответ: $\angle CAD$.