Страница 141 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема о трёх перпендикулярах устанавливает зависимость между перпендикулярностью прямой, лежащей в плоскости, к наклонной и к проекции этой наклонной на ту же плоскость. Теорема состоит из двух частей: прямой и обратной.

Для наглядности введем обозначения:
Пусть дана плоскость $\alpha$.
Из точки $A$, не лежащей в плоскости $\alpha$, опустим на неё перпендикуляр $AC$ (где $C \in \alpha$).
Проведём из точки $A$ к плоскости $\alpha$ наклонную $AB$ (где $B \in \alpha$).
Отрезок $CB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.
Пусть в плоскости $\alpha$ проходит прямая $a$ через точку $B$ (основание наклонной).

Прямая теорема
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Формально: Если прямая $a$ перпендикулярна проекции $CB$ (т.е. $a \perp CB$), то она перпендикулярна и самой наклонной $AB$ (т.е. $a \perp AB$).

Обратная теорема
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к самой наклонной, перпендикулярна и к её проекции.

Формально: Если прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AB$ (т.е. $a \perp AB$), то она перпендикулярна и её проекции $CB$ (т.е. $a \perp CB$).

Ответ: Теорема о трёх перпендикулярах имеет две формулировки:
1. Прямая теорема: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
2. Обратная теорема: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно наклонной, перпендикулярна и её проекции.

12.1. На рисунке 12.8 изображён квадрат $ABCD$, прямая $NC$ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые $BD$ и $NO$ перпендикулярны.

Рис. 12.8

Для доказательства того, что прямые $BD$ и $NO$ перпендикулярны, мы докажем, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(NAC)$, в которой лежит прямая $NO$.

1. Согласно условию, фигура $ABCD$ является квадратом. По свойству диагоналей квадрата, они взаимно перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

2. По условию, прямая $NC$ перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $NC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$. Так как прямая $BD$ лежит в этой плоскости, то $NC \perp BD$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым — $AC$ и $NC$, — которые лежат в плоскости $(NAC)$ (они пересекаются в точке $C$).

4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Таким образом, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(NAC)$, то есть $BD \perp (NAC)$.

5. Прямая $NO$ лежит в плоскости $(NAC)$, поскольку точки $N$ и $O$ принадлежат этой плоскости (точка $O$ принадлежит диагонали $AC$, которая лежит в плоскости $(NAC)$).

6. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $BD \perp (NAC)$ и прямая $NO$ лежит в плоскости $(NAC)$, то $BD \perp NO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $BD$ и $NO$ доказана.

12.2. На рисунке 12.9 изображён ромб $ABCD$. Прямая $FC$ перпендикулярна его плоскости. Докажите, что прямые $AF$ и $BD$ перпендикулярны.

Рис. 12.9

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, а прямая $FC$ перпендикулярна его плоскости. Обозначим плоскость ромба как $(ABC)$. Таким образом, имеем $FC \perp (ABC)$.

Рассмотрим отрезок $AF$ как наклонную к плоскости $(ABC)$. Так как $FC$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, то точка $C$ является проекцией точки $F$ на эту плоскость. Точка $A$ лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому она проецируется сама в себя. Следовательно, отрезок $AC$ является проекцией наклонной $AF$ на плоскость $(ABC)$.

Одним из ключевых свойств ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Для ромба $ABCD$ это означает, что диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$, то есть $AC \perp BD$.

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Она гласит: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае:

• Прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABC)$.
• Прямая $BD$ перпендикулярна проекции $AC$ наклонной $AF$.

Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $BD$ перпендикулярна и самой наклонной $AF$. Таким образом, $AF \perp BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AF$ и $BD$ перпендикулярны на основании теоремы о трех перпендикулярах, так как прямая $BD$, лежащая в плоскости ромба, перпендикулярна проекции $AC$ наклонной $AF$.

12.3. На рисунке 12.10 изображён равносторонний треугольник $ABC$, точка $D$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Докажите, что $MD \perp BC$.

Рис. 12.10

Для доказательства утверждения воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. По условию, прямая $AM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что $AM$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$.

2. Отрезок $MD$ является наклонной, проведенной из точки $M$ к плоскости $ABC$. Отрезок $AD$ является проекцией этой наклонной на плоскость $ABC$, так как точка $A$ — основание перпендикуляра $AM$, а точка $D$ принадлежит плоскости $ABC$.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он равносторонний по условию, а точка $D$ — середина стороны $BC$, то отрезок $AD$ является медианой. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к любой из сторон, является также и высотой. Следовательно, $AD$ — высота треугольника $ABC$, и $AD \perp BC$.

4. Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. В нашем случае прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна проекции $AD$. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна и самой наклонной $MD$.

Таким образом, $MD \perp BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку $AM \perp (ABC)$, то $AD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $ABC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $AD$ является также и высотой, поэтому $AD \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах из того, что $AD \perp BC$, следует, что $MD \perp BC$.

12.4. Прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности с центром $O$ (рис. 12.11). Прямая $a$ принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке $B$. Докажите, что $AB \perp a$.

Рис. 12.11

12.4. Для доказательства воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. По условию, прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Таким образом, $AO$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точка $O$ — основание этого перпендикуляра.

2. Прямая $AB$ — это наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точка $B$ — основание наклонной.

3. Отрезок $OB$ соединяет основание перпендикуляра ($O$) и основание наклонной ($B$). Следовательно, отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

4. По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и касается окружности в точке $B$. Отрезок $OB$ является радиусом окружности, проведенным в точку касания. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Отсюда следует, что $OB \perp a$.

5. Теперь применим теорему о трех перпендикулярах, которая гласит: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

В нашем случае прямая $a$ (проведенная в плоскости $\alpha$) проходит через основание наклонной $AB$ (точку $B$) и перпендикулярна ее проекции $OB$. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $a$ перпендикулярна и самой наклонной $AB$.

Таким образом, $AB \perp a$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

12.5. Отрезок $BD$ — перпендикуляр плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ (рис. 12.12). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$.

Рис. 12.12

Чтобы построить перпендикуляр из точки D на прямую AC, необходимо выполнить следующие шаги и доказать правильность построения.

Построение

1. В плоскости равнобедренного треугольника ABC проведем из вершины B медиану к основанию AC. Обозначим точку пересечения медианы с основанием как M. Таким образом, M — середина отрезка AC.

2. Соединим точки D и M отрезком.

Построенный отрезок DM и является искомым перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую AC.

Обоснование

Согласно условию задачи, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, а отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника ABC ($BD \perp (ABC)$).

Так как BM — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, она также является его высотой. Следовательно, медиана BM перпендикулярна основанию AC, то есть $BM \perp AC$.

Рассмотрим связь между отрезками BD, BM и DM. Отрезок $BD$ является перпендикуляром к плоскости (ABC). Отрезок $DM$ — это наклонная, проведенная из точки D к плоскости (ABC). Отрезок $BM$ является проекцией наклонной $DM$ на плоскость (ABC).

Прямая AC лежит в плоскости (ABC). Мы установили, что эта прямая перпендикулярна проекции $BM$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна проекции $BM$, то она перпендикулярна и самой наклонной $DM$. Таким образом, $DM \perp AC$.

Следовательно, отрезок DM является перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую AC.

Ответ: Необходимо провести медиану $BM$ в треугольнике $ABC$ к основанию $AC$. Затем соединить точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ будет искомым перпендикуляром к прямой $AC$.