Номер 12.5, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.5. Отрезок $BD$ — перпендикуляр плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ (рис. 12.12). Постройте перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на прямую $AC$.

Рис. 12.12

Чтобы построить перпендикуляр из точки D на прямую AC, необходимо выполнить следующие шаги и доказать правильность построения.

Построение

1. В плоскости равнобедренного треугольника ABC проведем из вершины B медиану к основанию AC. Обозначим точку пересечения медианы с основанием как M. Таким образом, M — середина отрезка AC.

2. Соединим точки D и M отрезком.

Построенный отрезок DM и является искомым перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую AC.

Обоснование

Согласно условию задачи, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, а отрезок $BD$ перпендикулярен плоскости треугольника ABC ($BD \perp (ABC)$).

Так как BM — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, она также является его высотой. Следовательно, медиана BM перпендикулярна основанию AC, то есть $BM \perp AC$.

Рассмотрим связь между отрезками BD, BM и DM. Отрезок $BD$ является перпендикуляром к плоскости (ABC). Отрезок $DM$ — это наклонная, проведенная из точки D к плоскости (ABC). Отрезок $BM$ является проекцией наклонной $DM$ на плоскость (ABC).

Прямая AC лежит в плоскости (ABC). Мы установили, что эта прямая перпендикулярна проекции $BM$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна проекции $BM$, то она перпендикулярна и самой наклонной $DM$. Таким образом, $DM \perp AC$.

Следовательно, отрезок DM является перпендикуляром, опущенным из точки D на прямую AC.

Ответ: Необходимо провести медиану $BM$ в треугольнике $ABC$ к основанию $AC$. Затем соединить точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ будет искомым перпендикуляром к прямой $AC$.