gdz.top
Номер 12.8, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 12. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 12.8, страница 142.
№12.7
№12.8 (с. 142)
Условие. №12.8 (с. 142)
12.8. Прямая $MA$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$, $MD \perp CD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник.
Решение. №12.8 (с. 142)
Решение 2. №12.8 (с. 142)
По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, и прямая $MA$ перпендикулярна плоскости этого параллелограмма, что записывается как $MA \perp (ABCD)$. Также дано, что $MD \perp CD$. Требуется доказать, что $ABCD$ — прямоугольник.
Рассмотрим прямую $MA$ и плоскость $(ABCD)$. Так как $MA \perp (ABCD)$, то $MA$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $(ABCD)$. Точка $A$ — это основание перпендикуляра.
Рассмотрим отрезок $MD$. Он является наклонной, проведенной из точки $M$ к плоскости $(ABCD)$. Отрезок $AD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$, поскольку $M$ проектируется в $A$, а точка $D$ лежит в плоскости и проектируется сама в себя.
Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $D$ — основание наклонной $MD$. По условию, наклонная перпендикулярна этой прямой: $MD \perp CD$.
Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.
Применяя эту теорему к нашей задаче, получаем: поскольку наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $CD$, то и ее проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CD$. Следовательно, $AD \perp CD$.
Угол между смежными сторонами $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $\angle ADC = 90^\circ$.
Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Так как $ABCD$ — параллелограмм и $\angle ADC = 90^\circ$, то $ABCD$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 12.8 расположенного на странице 142 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12.8 (с. 142), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.