Номер 12.10, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.10. Отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$, $AB = 10$ см, $AC = 17$ см, $BC = 21$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $BC$, если расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 15 см.

Поскольку отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно длине этого отрезка. По условию это расстояние равно 15 см, следовательно, $DA = 15$ см.

Расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, проведенного из точки $D$ к прямой $BC$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$ на прямой $BC$. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $DH$, где $DH \perp BC$.

Рассмотрим отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DH$ — наклонная к этой плоскости, а $AH$ — проекция наклонной $DH$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($DH$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($AH$) перпендикулярна этой же прямой. Отсюда следует, что $AH \perp BC$. Значит, $AH$ — это высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

Чтобы найти длину высоты $AH$, сначала вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, используя длины его сторон: $a = BC = 21$ см, $b = AC = 17$ см, $c = AB = 10$ см.

Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{72 \cdot 98} = \sqrt{7056} = 84$ см².

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Выразим отсюда высоту $AH$:$AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см.

Так как отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $DA \perp AH$. Это означает, что треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAH$.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $DH$ в прямоугольном треугольнике $DAH$ по теореме Пифагора:$DH^2 = DA^2 + AH^2$$DH^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$DH = \sqrt{289} = 17$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до прямой $BC$ равно 17 см.

Ответ: 17 см.