gdz.top
Номер 12.4, страница 141 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 12. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 12.4, страница 141.
№12.3
№12.4 (с. 141)
Условие. №12.4 (с. 141)
12.4. Прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности с центром $O$ (рис. 12.11). Прямая $a$ принадлежит плоскости окружности и касается данной окружности в точке $B$. Докажите, что $AB \perp a$.
Рис. 12.11
Решение. №12.4 (с. 141)
Решение 2. №12.4 (с. 141)
12.4. Для доказательства воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.
1. По условию, прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Таким образом, $AO$ — это перпендикуляр, проведенный из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точка $O$ — основание этого перпендикуляра.
2. Прямая $AB$ — это наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Точка $B$ — основание наклонной.
3. Отрезок $OB$ соединяет основание перпендикуляра ($O$) и основание наклонной ($B$). Следовательно, отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.
4. По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и касается окружности в точке $B$. Отрезок $OB$ является радиусом окружности, проведенным в точку касания. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Отсюда следует, что $OB \perp a$.
5. Теперь применим теорему о трех перпендикулярах, которая гласит: если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
В нашем случае прямая $a$ (проведенная в плоскости $\alpha$) проходит через основание наклонной $AB$ (точку $B$) и перпендикулярна ее проекции $OB$. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая $a$ перпендикулярна и самой наклонной $AB$.
Таким образом, $AB \perp a$, что и требовалось доказать.
Ответ: утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 12.4 расположенного на странице 141 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12.4 (с. 141), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.