Номер 11.54, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.54. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 12 : 25, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите радиус вписанной окружности, если площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $12:25$, считая от вершины угла при основании. Возьмем вершину $C$ при основании $AC$. Точка касания на стороне $BC$ — это точка $N$. Таким образом, отношение отрезков $CN$ к $NB$ равно $12:25$.

$CN : NB = 12 : 25$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $CN = 12x$, а $NB = 25x$.

Длина боковой стороны $BC = CN + NB = 12x + 25x = 37x$.

Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = 37x$.

Используем свойство отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности: они равны между собой.

• Из вершины $C$: $CK = CN = 12x$.
• Из вершины $B$: $BM = BN = 25x$.
• Из вершины $A$: $AM = AK$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то и отрезки касательных из вершин при основании равны: $AK = CK = 12x$.

Теперь найдем длину основания $AC$:

$AC = AK + KC = 12x + 12x = 24x$.

Мы выразили все стороны треугольника через $x$: $AB=37x$, $BC=37x$, $AC=24x$.

Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{37x + 37x + 24x}{2} = \frac{98x}{2} = 49x$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

$p-AB = 49x - 37x = 12x$

$p-BC = 49x - 37x = 12x$

$p-AC = 49x - 24x = 25x$

$S = \sqrt{49x \cdot 12x \cdot 12x \cdot 25x} = \sqrt{49 \cdot 144 \cdot 25 \cdot x^4} = 7 \cdot 12 \cdot 5 \cdot x^2 = 420x^2$.

По условию задачи, площадь треугольника равна $1680 \text{ см}^2$. Составим и решим уравнение:

$420x^2 = 1680$

$x^2 = \frac{1680}{420}$

$x^2 = 4$

$x = 2$ (так как длина отрезка - величина положительная).

Теперь найдем полупериметр $p$:

$p = 49x = 49 \cdot 2 = 98 \text{ см}$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $S = p \cdot r$.

Отсюда $r = \frac{S}{p}$.

$r = \frac{1680}{98} = \frac{840}{49} = \frac{120}{7} \text{ см}$.

Ответ: $ \frac{120}{7} \text{ см}$.