Номер 11.51, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.51. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ равно 2 см и перпендикулярно плоскости $ABC$. Грань $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты $AC$ и $BC$ которого равны 4 см. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми $DM$ и $CN$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Учитывая, что ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, удобно расположить начало координат в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CA$, ось $Oy$ — вдоль ребра $CB$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $CD$.

В этой системе координат, исходя из данных задачи ($AC=4$ см, $BC=4$ см, $DC=2$ см), определим координаты вершин тетраэдра:

• $C(0; 0; 0)$
• $A(4; 0; 0)$
• $B(0; 4; 0)$
• $D(0; 0; 2)$

Найдем координаты точек $M$ и $N$.

Точка $M$ — середина ребра $AC$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $C$:

$M\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = M(2; 0; 0)$.

Точка $N$ — середина ребра $AB$. Ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $B$:

$N\left(\frac{4+0}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = N(2; 2; 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $DM$ и $CN$ будем искать с помощью векторов. Для этого найдем направляющие векторы этих прямых.

Направляющий вектор прямой $DM$, обозначим его $\vec{s_1}$, можно найти как вектор $\vec{DM}$:

$\vec{s_1} = \vec{DM} = \{x_M - x_D; y_M - y_D; z_M - z_D\} = \{2 - 0; 0 - 0; 0 - 2\} = \{2; 0; -2\}$.

Направляющий вектор прямой $CN$, обозначим его $\vec{s_2}$, можно найти как вектор $\vec{CN}$:

$\vec{s_2} = \vec{CN} = \{x_N - x_C; y_N - y_C; z_N - z_C\} = \{2 - 0; 2 - 0; 0 - 0\} = \{2; 2; 0\}$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{s_1}$, а другая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{s_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{s_1} \times \vec{s_2}) \cdot \vec{P_2P_1}|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

В нашем случае в качестве точек на прямых возьмем $P_1 = D(0; 0; 2)$ и $P_2 = C(0; 0; 0)$. Тогда вектор, соединяющий прямые, $\vec{P_2P_1} = \vec{CD} = \{0-0; 0-0; 2-0\} = \{0; 0; 2\}$.

Сначала найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = \{4; -4; 4\}$.

Далее найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Теперь вычислим смешанное произведение (числитель формулы):

$(\vec{s_1} \times \vec{s_2}) \cdot \vec{CD} = \{4; -4; 4\} \cdot \{0; 0; 2\} = 4 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|8|}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.