Номер 11.45, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.45. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ M $ и $ K $ принадлежат плоскости $ \alpha $, а точки $ N $ и $ F $ — плоскости $ \beta $. Известно, что $ MN \perp \beta $, $ MN = 12 $ см, $ MK = 4 $ см, $ NF = 3 $ см, $ KF = 13 $ см. Найдите расстояние между прямыми $ MN $ и $ KF $.

1. Анализ геометрической конфигурации и выбор метода решения.

По условию даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $N$ и $F$ — в плоскости $\beta$. Прямые $MN$ и $KF$ являются скрещивающимися, поскольку их точки лежат в разных параллельных плоскостях, и они не параллельны.

Нам известно, что прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($MN \perp \beta$). Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, прямая $MN$ также перпендикулярна и плоскости $\alpha$. Таким образом, длина отрезка $MN$ является расстоянием между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, и $MN = 12$ см.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $MN$ и $KF$ удобно использовать метод ортогонального проецирования на одну из плоскостей. Так как прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $\beta$, спроецируем всю конструкцию на плоскость $\beta$.

2. Построение проекций на плоскость $\beta$.

Проекцией прямой $MN$ на плоскость $\beta$ будет точка $N$, так как $M$ проецируется в $N$.

Проекцией прямой $KF$ на плоскость $\beta$ будет прямая $K'F$, где $K'$ — ортогональная проекция точки $K$ на плоскость $\beta$. Точка $F$ уже лежит в плоскости $\beta$, поэтому она проецируется сама в себя.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $MN$ и $KF$ в данном случае будет равно расстоянию от проекции прямой $MN$ (точки $N$) до проекции прямой $KF$ (прямой $K'F$) в плоскости $\beta$.

3. Вычисление длин проекций.

Рассмотрим четырехугольник $MNK'K$. Отрезок $KK'$ — это перпендикуляр из точки $K$ к плоскости $\beta$, поэтому его длина равна расстоянию между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $KK' = MN = 12$ см. Так как $MN \perp \beta$ и $KK' \perp \beta$, то $MN \parallel KK'$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны ($MN \parallel KK'$, $MN = KK'$), является параллелограммом. А поскольку $MN \perp NK'$ (так как $MN$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\beta$), этот параллелограмм является прямоугольником. Из этого следует, что $NK' = MK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $K'F$. Рассмотрим треугольник $\triangle KK'F$. Так как $KK' \perp \beta$, то $KK'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, включая $K'F$. Следовательно, $\triangle KK'F$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K'$. По теореме Пифагора:

$KF^2 = KK'^2 + K'F^2$

Подставим известные значения: $KF = 13$ см и $KK' = 12$ см.

$13^2 = 12^2 + K'F^2$

$169 = 144 + K'F^2$

$K'F^2 = 169 - 144 = 25$

$K'F = \sqrt{25} = 5$ см.

4. Нахождение искомого расстояния.

Теперь у нас есть все стороны треугольника $\triangle NK'F$, лежащего в плоскости $\beta$: $NF = 3$ см, $NK' = 4$ см, $K'F = 5$ см.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:

$NF^2 + NK'^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$K'F^2 = 5^2 = 25$

Поскольку $NF^2 + NK'^2 = K'F^2$, по обратной теореме Пифагора $\triangle NK'F$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $N$.

Искомое расстояние — это расстояние от точки $N$ до прямой $K'F$, то есть длина высоты $h$, опущенной из вершины прямого угла $N$ на гипотенузу $K'F$. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot NF \cdot NK'$

$S = \frac{1}{2} \cdot K'F \cdot h$

Приравнивая выражения, получаем:

$NF \cdot NK' = K'F \cdot h$

$3 \cdot 4 = 5 \cdot h$

$12 = 5h$

$h = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $2.4$ см.