Номер 11.43, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11.43, страница 136.

Условие.

11.43. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точка $M$ такова, что $OM = 1$ см. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, не имеющая с параллелограммом общих точек. Докажите, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Решение.

Решение 2.

Пусть $d_A, d_B, d_C, d_D$ — расстояния от вершин параллелограмма $A, B, C, D$ до плоскости $\alpha$, а $d_O$ — расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до той же плоскости.

По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей $O$ является серединой каждой из диагоналей, то есть $O$ — середина отрезков $AC$ и $BD$.

Поскольку плоскость $\alpha$ не имеет общих точек с параллелограммом, все его вершины находятся по одну сторону от этой плоскости.

Рассмотрим отрезок $AC$. Расстояние от его середины $O$ до плоскости $\alpha$ равно среднему арифметическому расстояний от его концов $A$ и $C$ до этой же плоскости. Это следует из свойства средней линии трапеции, образованной перпендикулярами, опущенными из точек $A, O, C$ на плоскость $\alpha$.

$d_O = \frac{d_A + d_C}{2}$

Отсюда следует, что сумма расстояний от вершин $A$ и $C$ равна:

$d_A + d_C = 2d_O$

Аналогично для диагонали $BD$ и ее середины $O$:

$d_O = \frac{d_B + d_D}{2}$

Отсюда сумма расстояний от вершин $B$ и $D$ равна:

$d_B + d_D = 2d_O$

Сумма расстояний от всех вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ будет равна:

$S = d_A + d_B + d_C + d_D = (d_A + d_C) + (d_B + d_D) = 2d_O + 2d_O = 4d_O$

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ ($d_O$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $\alpha$. Отрезок $OM$ — это наклонная, проведенная из точки $O$ к плоскости $\alpha$ (поскольку точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$). Длина перпендикуляра не может быть больше длины наклонной, проведенной из той же точки. Следовательно:

$d_O \le OM$

По условию $OM = 1$ см, значит:

$d_O \le 1$ см

Теперь подставим это неравенство в выражение для суммы расстояний:

$S = 4d_O \le 4 \cdot 1 = 4$ см

Таким образом, доказано, что сумма расстояний от вершин параллелограмма до плоскости $\alpha$ не больше 4 см.

Ответ: Утверждение доказано.