Номер 11.38, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.38. Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точки $B_1$ и $C_1$ являются соответственно проекциями точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Известно, что $BB_1 = 8$ см, $AB = 17$ см, $B_1D = 24$ см, $C_1A = 12$ см. Найдите отрезок $AD$.

Поскольку точки $B_1$ и $C_1$ являются проекциями точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$, то отрезки $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $BB_1$ и $AB_1$.

Найдем длину проекции $AB_1$ стороны $AB$ на плоскость $\alpha$ по теореме Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 - BB_1^2$
$AB_1 = \sqrt{AB^2 - BB_1^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$, который является проекцией параллелограмма $ABCD$ на плоскость $\alpha$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, то $BC \parallel AD$. Поскольку сторона $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что все точки прямой $BC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Следовательно, $CC_1 = BB_1 = 8$ см.

Покажем, что проекция $AB_1C_1D$ также является параллелограммом. Вектор $\vec{AD}$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому его проекция на эту плоскость совпадает с ним самим. Вектор $\vec{B_1C_1}$ является проекцией вектора $\vec{BC}$ на плоскость $\alpha$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$ (свойство параллелограмма) и $\vec{BC} \parallel \alpha$, то проекция вектора $\vec{BC}$ на плоскость $\alpha$ равна самому вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$. Таким образом, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$, что доказывает, что $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $AB_1C_1D$ диагоналями являются отрезки $AC_1$ и $B_1D$. Стороны равны $AD$, $B_1C_1$, $AB_1$ и $DC_1$. Так как $AB_1C_1D$ — параллелограмм, то $AD = B_1C_1$ и $AB_1 = DC_1$.

Запишем свойство для нашего случая:
$AC_1^2 + B_1D^2 = 2(AD^2 + AB_1^2)$

Подставим известные значения в формулу:
$12^2 + 24^2 = 2(AD^2 + 15^2)$
$144 + 576 = 2(AD^2 + 225)$
$720 = 2(AD^2 + 225)$
$360 = AD^2 + 225$
$AD^2 = 360 - 225$
$AD^2 = 135$
$AD = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Ответ: $3\sqrt{15}$ см.