Номер 11.42, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.42. Длина каждого ребра тетраэдра $DABC$ равна 1 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Поскольку все рёбра тетраэдра $DABC$ равны 1 см, этот тетраэдр является правильным. Все его грани — равносторонние треугольники со стороной 1 см. Требуется найти расстояние между скрещивающимися рёбрами $AB$ и $CD$. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Пусть точка $M$ — середина ребра $AB$, а точка $N$ — середина ребра $CD$. Построим отрезок $MN$ и докажем, что он является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

Рассмотрим грань $ABC$. Это равносторонний треугольник. Отрезок $CM$ является в нём медианой, проведённой к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой, поэтому $CM \perp AB$. Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. При $a=1$ см, получаем $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Это также равносторонний треугольник. Отрезок $DM$ является в нём медианой к стороне $AB$, а значит и высотой. Следовательно, $DM \perp AB$ и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CM$ и $DM$ в плоскости $CDM$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $CDM$. Отрезок $MN$ лежит в этой плоскости, следовательно, $MN \perp AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $CDM$. Мы знаем длины его сторон: $CD = 1$ см, $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Так как $CM = DM$, треугольник $CDM$ является равнобедренным с основанием $CD$. Точка $N$ — середина основания $CD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp CD$.

Мы доказали, что отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $AB$, так и прямой $CD$. Таким образом, длина отрезка $MN$ является искомым расстоянием.

Найдём длину $MN$ из прямоугольного треугольника $CMN$ (или $DMN$), используя теорему Пифагора. В треугольнике $CMN$ гипотенузой является $CM$, а катетами — $MN$ и $CN$. Длина катета $CN$ равна половине длины ребра $CD$: $CN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}$ см.

$CM^2 = MN^2 + CN^2$

$MN^2 = CM^2 - CN^2$

$MN^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.