Номер 11.46, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.46. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AD = AA_1 = 2$ см, $AB = 4$ см. Найдите расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $DA_1$ и $CD_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек. Учитывая, что $AD = 2$ см, $AA_1 = 2$ см, $AB = 4$ см, получаем:

$D(0, 0, 0)$

$A(0, 2, 0)$

$C(4, 0, 0)$ (так как $DC = AB = 4$)

$D_1(0, 0, 2)$ (так как $DD_1 = AA_1 = 2$)

$A_1(0, 2, 2)$

Прямая $DA_1$ проходит через точку $D(0, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{DA_1} = (0-0, 2-0, 2-0) = (0, 2, 2)$.

Прямая $CD_1$ проходит через точку $C(4, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (0-4, 0-0, 2-0) = (-4, 0, 2)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными точками $M_1$ и $M_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

В нашем случае $M_1$ — это точка $D(0,0,0)$ на прямой $DA_1$, а $M_2$ — это точка $C(4,0,0)$ на прямой $CD_1$. Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{M_1M_2} = \vec{DC} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot (-4)) = 4\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 8\mathbf{k} = (4, -8, 8)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{4^2 + (-8)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12$.

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{DC}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$), которое стоит в числителе формулы:

$\vec{DC} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (4, 0, 0) \cdot (4, -8, 8) = 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-8) + 0 \cdot 8 = 16$.

Подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|16|}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $DA_1$ и $CD_1$ равно $\frac{4}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4}{3}$ см.