Номер 11.40, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.40. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точка $K$ — середина ребра $AA_1$. Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $CBK$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $x$ вдоль ребра $AD$, ось $y$ вдоль ребра $AB$ и ось $z$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины куба и точка $K$ имеют следующие координаты, учитывая, что длина ребра куба равна $a$:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, a, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(0, a, a)$

Точка $K$ является серединой ребра $AA_1$, поэтому ее координаты равны полусумме координат точек $A$ и $A_1$:

$K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}\right) = K\left(0, 0, \frac{a}{2}\right)$

Далее найдем уравнение плоскости $CBK$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax + By + Cz + D = 0$. Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ можно вычислить векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BK}$, лежащих в этой плоскости. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{BC} = C - B = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$

$\vec{BK} = K - B = (0-0, 0-a, \frac{a}{2}-0) = (0, -a, \frac{a}{2})$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ будет коллинеарен векторному произведению $\vec{BC} \times \vec{BK}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0)$

$\vec{n} = (0, -\frac{a^2}{2}, -a^2)$

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Умножим полученный вектор на $-\frac{2}{a^2}$ для упрощения:

$\vec{n'} = (0, 1, 2)$.

Таким образом, уравнение плоскости $CBK$ имеет вид $0 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot z + D = 0$, то есть $y + 2z + D = 0$. Для нахождения коэффициента $D$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(0, a, 0)$:

$a + 2 \cdot 0 + D = 0 \implies D = -a$

Итак, уравнение плоскости $CBK$: $y + 2z - a = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B_1(0, a, a)$ до плоскости $y + 2z - a = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем координаты точки $B_1$ и коэффициенты уравнения плоскости:

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot a + 2 \cdot a - a|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|a + 2a - a|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|2a|}{\sqrt{5}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.