Номер 11.36, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.36. Основания трапеции равны 15 см и 20 см. Через большее основание трапеции проведена плоскость $α$ на расстоянии 14 см от её меньшего основания. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости $α$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $BC = 15$ см (меньшее основание) и $AD = 20$ см (большее основание). Через большее основание $AD$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от меньшего основания $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Это означает, что расстояние от любой точки на прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см. Расстояние от любой точки на прямой $AD$ до плоскости $\alpha$ равно 0, так как $AD$ лежит в этой плоскости.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Нам необходимо найти расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные диагоналями и основаниями трапеции.Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} $

Подставим известные значения длин оснований:$ \frac{BO}{DO} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} $

Это означает, что точка $O$ делит диагональ $BD$ в отношении $BO : DO = 3 : 4$. Из этого отношения найдем, какую часть составляет отрезок $DO$ от всей диагонали $BD$.$ BD = BO + DO $. Так как $ BO = \frac{3}{4} DO $, то $ BD = \frac{3}{4} DO + DO = \frac{7}{4} DO $.Следовательно, отношение $ \frac{DO}{BD} = \frac{DO}{\frac{7}{4} DO} = \frac{4}{7} $.

Теперь найдем искомое расстояние. Пусть $h_O$ — расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$. Спроектируем точки $B$ и $O$ на плоскость $\alpha$. Пусть $B'$ и $O'$ — их ортогональные проекции. По условию, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 14 см, то есть $BB' = 14$ см. Расстояние, которое мы ищем, это $OO' = h_O$. Точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $D$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DOO'$ и $\triangle DBB'$. Они подобны, так как они оба прямоугольные ($\angle DO'O = \angle DB'B = 90^\circ$) и имеют общий острый угол при вершине $D$.

Из подобия этих треугольников следует пропорция:$ \frac{OO'}{BB'} = \frac{DO}{DB} $

Подставляем известные значения в эту пропорцию: $BB' = 14$ и $\frac{DO}{DB} = \frac{4}{7}$.$ \frac{h_O}{14} = \frac{4}{7} $

Отсюда находим искомое расстояние $h_O$:$ h_O = 14 \cdot \frac{4}{7} = 2 \cdot 4 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.