Номер 11.31, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.31. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, равно $a$. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно граней $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба. Найдите расстояние между прямыми $CD$ и $OO_1$.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Точка $O$ — центр нижней грани $ABCD$, а точка $O_1$ — центр верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $OO_1$ соединяет центры оснований куба, следовательно, она перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$.

Прямая $CD$ лежит в плоскости $(ABCD)$. Так как прямая $OO_1$ не лежит в плоскости $(ABCD)$ и не параллельна прямой $CD$ (поскольку $OO_1$ перпендикулярна всей плоскости, в которой лежит $CD$, но не пересекает $CD$), то прямые $CD$ и $OO_1$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Одним из методов нахождения этого расстояния является метод проекций.

Спроецируем прямую $OO_1$ на плоскость $(ABCD)$. Поскольку прямая $OO_1$ перпендикулярна этой плоскости, ее проекцией будет точка пересечения с плоскостью, то есть точка $O$. Прямая $CD$ лежит в этой же плоскости, поэтому она проецируется сама на себя.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $CD$ и $OO_1$ равно расстоянию между их проекциями на перпендикулярную к одной из них плоскость. В данном случае, оно равно расстоянию от точки $O$ до прямой $CD$ в плоскости $(ABCD)$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Точка $O$ — его центр. Расстояние от центра квадрата до его стороны равно половине длины стороны. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $CD$, где $K$ — середина отрезка $CD$. Длина этого перпендикуляра $OK$ равна половине длины ребра $AD$, которое параллельно и равно отрезку, соединяющему середины противолежащих сторон. Таким образом, $OK = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Убедимся, что $OK$ является общим перпендикуляром к прямым $CD$ и $OO_1$:
1. По построению в плоскости квадрата $ABCD$, отрезок $OK$ перпендикулярен прямой $CD$ ($OK \perp CD$).
2. Так как прямая $OO_1$ перпендикулярна всей плоскости $(ABCD)$, а отрезок $OK$ лежит в этой плоскости, то $OO_1$ перпендикулярна $OK$ ($OO_1 \perp OK$).

Поскольку отрезок $OK$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым, его длина и есть искомое расстояние.

Ответ: $\frac{a}{2}$