Номер 11.26, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11.26, страница 134.

Условие.

11.26. Вершина $A$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Из точек $B$ и $C$ опущены на плоскость $\alpha$ перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$. Проекция отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{14}$ см, а проекция отрезка $AC - 3\sqrt{5}$ см. Найдите сторону $BC$, если $BB_1 = 2$ см, $\angle BAC = 45^{\circ}$.

Решение.

Решение 2.

По условию, вершина A треугольника ABC лежит в плоскости $\alpha$. Из точек B и C опущены перпендикуляры $BB_1$ и $CC_1$ на плоскость $\alpha$. Это означает, что $BB_1 \perp \alpha$ и $CC_1 \perp \alpha$.

Точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Отрезок $AB_1$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $AC_1$ является проекцией отрезка $AC$ на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как $BB_1 \perp \alpha$, то $BB_1$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B_1$. Следовательно, $\angle AB_1B = 90^\circ$, и треугольник $ABB_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину стороны $AB$:

$AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2$

Подставляем известные значения: $AB_1 = \sqrt{14}$ см и $BB_1 = 2$ см.

$AB^2 = (\sqrt{14})^2 + 2^2 = 14 + 4 = 18$

$AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см.

По условию, сторона $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что расстояние от любой точки отрезка $BC$ до плоскости $\alpha$ одинаково. Следовательно, длины перпендикуляров $BB_1$ и $CC_1$ равны:

$CC_1 = BB_1 = 2$ см.

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. Так как $CC_1 \perp \alpha$, то $\angle AC_1C = 90^\circ$, и треугольник $ACC_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину стороны $AC$:

$AC^2 = AC_1^2 + CC_1^2$

Подставляем известные значения: $AC_1 = 3\sqrt{5}$ см и $CC_1 = 2$ см.

$AC^2 = (3\sqrt{5})^2 + 2^2 = 9 \cdot 5 + 4 = 45 + 4 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Мы нашли длины двух его сторон $AB = 3\sqrt{2}$ см и $AC = 7$ см, а угол между ними известен из условия: $\angle BAC = 45^\circ$. Для нахождения длины третьей стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$

$BC^2 = 18 + 49 - 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 67 - \frac{42 \cdot 2}{2}$

$BC^2 = 67 - 42$

$BC^2 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.