Номер 11.19, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11.19, страница 134.

Условие.

11.19. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, сумма которых равна 28 см. Найдите эти наклонные, если их проекции на плоскость $\alpha$ равны соответственно 9 см и 5 см.

Решение.

Решение 2.

Пусть $DH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра $DH = h$. Наклонные $DA$ и $DB$ вместе со своими проекциями $HA$ и $HB$ и перпендикуляром $DH$ образуют два прямоугольных треугольника: $\triangle DHA$ и $\triangle DHB$.

Из условия задачи известны следующие данные:
1. Сумма длин наклонных: $DA + DB = 28$ см.
2. Длины их проекций: $HA = 9$ см и $HB = 5$ см.

По теореме Пифагора для каждого из прямоугольных треугольников можно записать:
$DA^2 = DH^2 + HA^2 \implies DA^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$
$DB^2 = DH^2 + HB^2 \implies DB^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить неизвестную высоту $h$:
$DA^2 - DB^2 = (h^2 + 81) - (h^2 + 25)$
$DA^2 - DB^2 = 81 - 25$
$DA^2 - DB^2 = 56$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(DA - DB)(DA + DB) = 56$

Из условия известно, что $DA + DB = 28$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(DA - DB) \cdot 28 = 56$

Отсюда найдем разность длин наклонных:
$DA - DB = \frac{56}{28}$
$DA - DB = 2$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:
1) $DA + DB = 28$
2) $DA - DB = 2$

Сложим эти два уравнения:
$(DA + DB) + (DA - DB) = 28 + 2$
$2 \cdot DA = 30$
$DA = 15$ см

Теперь, зная $DA$, найдем $DB$ из первого уравнения системы:
$15 + DB = 28$
$DB = 28 - 15$
$DB = 13$ см

Таким образом, длины наклонных равны 15 см и 13 см.

Ответ: 15 см и 13 см.