Номер 11.20, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.20. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MN$ и $MK$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $60^\circ$. Найдите расстояние между основаниями данных наклонных, если угол между наклонными равен $90^\circ$, а расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно $\sqrt{3}$ см.

Пусть $M$ - точка, из которой проведены наклонные, а $\alpha$ - плоскость. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ - проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$, а длина отрезка $MH$ - это расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. По условию, $MH = \sqrt{3}$ см.

$N$ и $K$ - основания наклонных, лежащие в плоскости $\alpha$. Тогда $MN$ и $MK$ - это данные наклонные. $HN$ является проекцией наклонной $MN$ на плоскость $\alpha$, а $HK$ - проекцией наклонной $MK$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость - это угол между наклонной и плоскостью. По условию, эти углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle MNH = 60^\circ$ и $\angle MKH = 60^\circ$.

Так как $MH$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MH \perp HN$ и $MH \perp HK$. Следовательно, треугольники $\triangle MNH$ и $\triangle MKH$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $H$).

1. Найдем длины наклонных MN и MK

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNH$. Мы знаем катет $MH = \sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $\angle MNH = 60^\circ$. Можем найти гипотенузу $MN$:

$\sin(\angle MNH) = \frac{MH}{MN}$

$MN = \frac{MH}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle MKH$ с катетом $MH = \sqrt{3}$ см и углом $\angle MKH = 60^\circ$ найдем гипотенузу $MK$:

$MK = \frac{MH}{\sin(60^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$ см.

Таким образом, длины наклонных равны: $MN = MK = 2$ см.

2. Найдем расстояние между основаниями наклонных NK

Рассмотрим треугольник $\triangle NMK$. Его стороны - это две наклонные $MN$, $MK$ и отрезок $NK$, соединяющий их основания. По условию, угол между наклонными равен $90^\circ$, то есть $\angle NMK = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $\triangle NMK$ является прямоугольным с катетами $MN = 2$ см и $MK = 2$ см. Расстояние между основаниями наклонных, $NK$, является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:

$NK^2 = MN^2 + MK^2$

$NK^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$NK = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.