Номер 11.21, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.21. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $AB$ и $AC$, образующие со своими проекциями на данную плоскость углы по $30^{\circ}$. Найдите данные наклонные и расстояние от точки A до плоскости $\alpha$, если угол между проекциями наклонных равен $90^{\circ}$, а расстояние между основаниями наклонных равно $6$ см.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Таким образом, $H$ является проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$, а длина отрезка $AH$ — искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Отрезки $HB$ и $HC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$. Угол между наклонной и ее проекцией — это угол между отрезками $AB$ и $HB$, а также $AC$ и $HC$. По условию задачи, $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 30^\circ$.

Треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными, так как $AH \perp \alpha$, а значит $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости ($AH \perp HB$ и $AH \perp HC$).

Так как у прямоугольных треугольников $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ общий катет $AH$ и равные острые углы ($\angle ABH = \angle ACH = 30^\circ$), то эти треугольники равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует, что $AB = AC$ (длины наклонных равны) и $HB = HC$ (длины проекций наклонных равны).

По условию, угол между проекциями наклонных равен $90^\circ$, то есть $\angle BHC = 90^\circ$. Точки $B, H, C$ лежат в плоскости $\alpha$ и образуют треугольник $\triangle BHC$. Так как $HB = HC$ и $\angle BHC = 90^\circ$, этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Расстояние между основаниями наклонных $B$ и $C$ равно 6 см, то есть $BC = 6$ см. В треугольнике $\triangle BHC$ сторона $BC$ является гипотенузой. Применим теорему Пифагора: $HB^2 + HC^2 = BC^2$. Поскольку $HB=HC$, получаем: $2 \cdot HB^2 = 6^2$ $2 \cdot HB^2 = 36$ $HB^2 = 18$ $HB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная длину проекции $HB = 3\sqrt{2}$ см, мы можем найти искомые величины из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$.

Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ (длина катета $AH$) находится через тангенс угла $\angle ABH$: $AH = HB \cdot \tan(\angle ABH) = 3\sqrt{2} \cdot \tan(30^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$ см.

Длины наклонных (длины гипотенуз $AB$ и $AC$) находятся через косинус угла $\angle ABH$: $AB = \frac{HB}{\cos(\angle ABH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\cos(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Так как $AB = AC$, то длина каждой наклонной равна $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: длины наклонных равны $2\sqrt{6}$ см, расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ равно $\sqrt{6}$ см.