Номер 11.28, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.28. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ удалена от плоскости $\alpha$ на $3$ см. Найдите проекции на плоскость $\alpha$ отрезков $CD$, $AC$ и $BD$, если $AC = 8$ см, $BD = 6$ см.

Пусть $ABCD$ – данный ромб. Сторона $AD$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ (так как $ABCD$ – ромб), следовательно, прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$. Расстояние от прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 3 см, это означает, что расстояние от любой точки на прямой $BC$ до плоскости $\alpha$ равно 3 см. Пусть $B'$ и $C'$ – проекции точек $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$. Тогда $BB' = 3$ см и $CC' = 3$ см. Так как точки $A$ и $D$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции совпадают с самими точками.

Проекцией отрезка $CD$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $C'D$.
Проекцией отрезка $AC$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AC'$(так как проекция точки $A$ есть сама точка $A$).
Проекцией отрезка $BD$ на плоскость $\alpha$ будет отрезок $B'D$ (так как проекция точки $D$ есть сама точка $D$).

Найдем сторону ромба. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. В прямоугольном треугольнике $AOD$ катеты равны $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см и $DO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AD$, которая является стороной ромба:$AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.Все стороны ромба равны, значит $CD = 5$ см.

Проекция отрезка CD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC'D$ (угол $CC'D = 90^\circ$), где $CD$ – наклонная, $CC'$ – перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $C'D$ – проекция $CD$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$CD^2 = CC'^2 + C'D^2$$C'D = \sqrt{CD^2 - CC'^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.Ответ: 4 см.

Проекция отрезка AC

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC'$ (угол $AC'C = 90^\circ$), где $AC$ – наклонная, $CC'$ – перпендикуляр, $AC'$ – проекция $AC$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$AC^2 = AC'^2 + CC'^2$$AC' = \sqrt{AC^2 - CC'^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55}$ см.Ответ: $\sqrt{55}$ см.

Проекция отрезка BD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB'D$ (угол $BB'D = 90^\circ$), где $BD$ – наклонная, $BB'$ – перпендикуляр, $B'D$ – проекция $BD$ на плоскость $\alpha$. По теореме Пифагора:$BD^2 = B'D^2 + BB'^2$$B'D = \sqrt{BD^2 - BB'^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.Ответ: $3\sqrt{3}$ см.