Номер 11.33, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.33. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ и перпендикулярна его плоскости. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $CD$, если $AB = 6$ см, а площадь параллелограмма $ABCD$ равна $72 \text{ см}^2$.

Пусть плоскость параллелограмма $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию, прямая $a$ проходит через вершину $B$ и перпендикулярна плоскости параллелограмма, то есть $a \perp \alpha$. Прямая $CD$ лежит в этой плоскости ($CD \subset \alpha$). Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$, которая не принадлежит прямой $CD$, то прямые $a$ и $CD$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

В плоскости параллелограмма $ABCD$ проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $CD$. По определению высоты, $BH \perp CD$.

Поскольку прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $BH$ ($a \perp BH$).

Таким образом, отрезок $BH$ является общим перпендикуляром к прямым $a$ и $CD$, так как он перпендикулярен обеим этим прямым. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $BH$. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \text{основание} \times \text{высота}$

В качестве основания возьмем сторону $CD$, тогда высота, проведенная к этому основанию, — это $BH$. $S_{ABCD} = CD \cdot BH$

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB$. Из условия задачи известно, что $AB = 6$ см, значит, $CD = 6$ см. Площадь параллелограмма $S_{ABCD} = 72$ см².

Подставим известные значения в формулу площади и найдем $BH$: $72 \text{ см}^2 = 6 \text{ см} \cdot BH$ $BH = \frac{72}{6}$ см $BH = 12$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $a$ и $CD$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.