Номер 11.37, страница 136 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.37. Стороны $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ равны 20 см и $5\sqrt{3}$ см. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$. Проекции отрезков $AC$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ равны 18 см и 24 см соответственно. Найдите расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\alpha$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Из условия задачи имеем: $AB = 20$ см, $BC = 5\sqrt{3}$ см. Прямая $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $CD \parallel AB$. Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $CD$ параллельна прямой $AB$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки этой прямой на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $h$. Пусть $C'$ — ортогональная проекция точки $C$ на плоскость $\alpha$, а $D'$ — ортогональная проекция точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $h = CC' = DD'$.

Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, их проекции на эту плоскость совпадают с самими точками. Проекцией наклонной $AC$ (диагонали параллелограмма) на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC'$. По условию, $AC' = 18$ см. Проекцией наклонной $BD$ (второй диагонали) на плоскость $\alpha$ является отрезок $BD'$. По условию, $BD' = 24$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC'$, где $\angle AC'C = 90^\circ$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = (AC')^2 + (CC')^2$ $AC^2 = 18^2 + h^2 = 324 + h^2$

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDD'$, где $\angle BD'D = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $BD^2 = (BD')^2 + (DD')^2$ $BD^2 = 24^2 + h^2 = 576 + h^2$

Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$ Подставим известные длины сторон: $AC^2 + BD^2 = 2(20^2 + (5\sqrt{3})^2) = 2(400 + 25 \cdot 3) = 2(400 + 75) = 2 \cdot 475 = 950$

Теперь объединим полученные результаты. Подставим выражения для $AC^2$ и $BD^2$ в свойство параллелограмма: $(324 + h^2) + (576 + h^2) = 950$ $900 + 2h^2 = 950$ $2h^2 = 950 - 900$ $2h^2 = 50$ $h^2 = 25$ Поскольку $h$ — это расстояние, оно должно быть положительным: $h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.