gdz.top
Номер 11.30, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная - номер 11.30, страница 135.
№11.29
№11.30 (с. 135)
Условие. №11.30 (с. 135)
11.30. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите расстояние между прямыми $B_1D_1$ и $AA_1$.
Решение. №11.30 (с. 135)
Решение 2. №11.30 (с. 135)
Прямые $B_1D_1$ и $AA_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.
Прямая $AA_1$ является боковым ребром куба, поэтому она перпендикулярна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Прямая $B_1D_1$ является диагональю верхнего основания и, следовательно, целиком лежит в этой плоскости.
Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, то расстояние от прямой $AA_1$ до любой прямой, лежащей в этой плоскости, равно расстоянию от точки пересечения прямой $AA_1$ с этой плоскостью до прямой в плоскости. Точкой пересечения прямой $AA_1$ и плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ является вершина $A_1$.
Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A_1$ до прямой $B_1D_1$ в плоскости квадрата $A_1B_1C_1D_1$.
Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на диагональ $B_1D_1$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O_1$ — точка пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Тогда отрезок $A_1O_1$ является перпендикуляром к $B_1D_1$, и его длина есть искомое расстояние.
Найдем длину диагонали $A_1C_1$ квадрата $A_1B_1C_1D_1$ со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как $O_1$ является серединой диагонали $A_1C_1$, то искомое расстояние равно:
$\rho(AA_1, B_1D_1) = A_1O_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 11.30 расположенного на странице 135 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №11.30 (с. 135), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.