gdz.top
Номер 11.23, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 11. Перпендикуляр и наклонная - номер 11.23, страница 134.
№11.22
№11.23 (с. 134)
Условие. №11.23 (с. 134)
11.23. Катеты прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) равны 6 см и 8 см. Точка $D$ удалена от каждой вершины данного треугольника на 13 см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.
Решение. №11.23 (с. 134)
Решение 2. №11.23 (с. 134)
Пусть точка H является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок DH является перпендикуляром к плоскости ABC, и его длина — это искомое расстояние от точки D до плоскости ABC.
Рассмотрим отрезки DA, DB и DC. Это наклонные, проведенные из точки D к плоскости ABC. По условию, длины этих наклонных равны: $DA = DB = DC = 13$ см. Отрезки HA, HB и HC являются проекциями этих наклонных на плоскость ABC.
Так как наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции. Следовательно, $HA = HB = HC$. Это означает, что точка H равноудалена от всех вершин треугольника ABC, а значит, H — это центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Треугольник ABC — прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора, зная катеты $AC = 6$ см и $BC = 8$ см:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ см$^2$
$AB = \sqrt{100} = 10$ см.
Точка H является серединой гипотенузы AB. Расстояние от H до любой вершины треугольника является радиусом описанной окружности R:
$R = HA = HB = HC = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DHA (угол $\angle DHA = 90^\circ$, так как DH перпендикулярен плоскости ABC). В этом треугольнике:
- DA — гипотенуза, $DA = 13$ см (по условию).
- HA — катет, $HA = 5$ см (как мы нашли выше).
- DH — искомый катет.
По теореме Пифагора:
$DA^2 = DH^2 + HA^2$
$DH^2 = DA^2 - HA^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ см$^2$
$DH = \sqrt{144} = 12$ см.
Таким образом, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 12 см.
Ответ: 12 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 11.23 расположенного на странице 134 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №11.23 (с. 134), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.