Номер 11.17, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.17 Докажите, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.

Пусть из точки $A$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к этой плоскости ($B \in \alpha$, $C \in \alpha$). Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$ ($H \in \alpha$). Тогда отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — проекцией наклонной $AC$.

По условию задачи, проекция одной наклонной больше проекции другой. Пусть, для определённости, $HB > HC$. Нам нужно доказать, что и сама наклонная $AB$ больше наклонной $AC$, то есть $AB > AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с общим катетом $AH$.

Применим к этим прямоугольным треугольникам теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

Теперь сравним квадраты длин наклонных $AB$ и $AC$. Из условия известно, что $HB > HC$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат:
$HB^2 > HC^2$
Прибавим к обеим частям этого неравенства положительную величину $AH^2$:
$AH^2 + HB^2 > AH^2 + HC^2$

Используя равенства, полученные из теоремы Пифагора, мы можем заменить суммы квадратов катетов на квадраты соответствующих гипотенуз:
$AB^2 > AC^2$

Поскольку длины наклонных $AB$ и $AC$ также являются положительными величинами, из неравенства для их квадратов следует аналогичное неравенство и для самих длин:
$AB > AC$

Таким образом, мы доказали, что наклонная, имеющая большую проекцию, имеет и большую длину. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что из двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше, доказано.