Номер 11.12, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.12. Расстояние между параллельными прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, равно 7 см. Верно ли утверждение, что расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 7 см?

Пусть даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$), прямая $a$, принадлежащая плоскости $α$ ($a \subset α$), и прямая $b$, принадлежащая плоскости $β$ ($b \subset β$). По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), и расстояние между ними составляет 7 см. Обозначим расстояние между плоскостями $α$ и $β$ как $h$. Требуется проверить истинность утверждения, что $h = 7$ см.

Выберем произвольную точку $A$ на прямой $a$. Расстояние от точки $A$ до прямой $b$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $b$. Пусть $P$ — основание этого перпендикуляра на прямой $b$. Тогда отрезок $AP$ перпендикулярен прямой $b$ ($AP \perp b$), и его длина равна расстоянию между прямыми, то есть $AP = 7$ см.

Теперь из той же точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $β$. Точка $H$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $β$. По определению, длина отрезка $AH$ равна расстоянию между параллельными плоскостями, то есть $AH = h$.

Рассмотрим три точки: $A$, $H$ и $P$. Точка $A$ находится в плоскости $α$, а точки $H$ и $P$ — в плоскости $β$. Отрезок $AH$ перпендикулярен плоскости $β$. Следовательно, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Прямая $HP$ лежит в плоскости $β$, поэтому $AH \perp HP$. Это означает, что треугольник $AHP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является отрезок $AP$ (расстояние между прямыми), а катетами — отрезки $AH$ (расстояние между плоскостями) и $HP$ (расстояние в плоскости $β$ между проекцией точки $A$ и прямой $b$).

Применим теорему Пифагора к треугольнику $AHP$: $AP^2 = AH^2 + HP^2$.

Подставим известные значения в это уравнение: $7^2 = h^2 + HP^2$, откуда $49 = h^2 + HP^2$.

Из полученного равенства выразим квадрат расстояния между плоскостями: $h^2 = 49 - HP^2$.

Поскольку $HP$ — это длина отрезка, её квадрат $HP^2$ не может быть отрицательным: $HP^2 \ge 0$. Следовательно, $h^2 \le 49$, что означает $h \le 7$ см. То есть расстояние между плоскостями не может быть больше расстояния между прямыми.

Равенство $h = 7$ см будет верным только в том случае, если $HP^2 = 0$, то есть $HP = 0$. Это соответствует ситуации, когда точка $H$ (проекция точки $A$ на плоскость $β$) совпадает с точкой $P$ (основанием перпендикуляра из $A$ на прямую $b$). Такое возможно, если прямая $b$ является ортогональной проекцией прямой $a$ на плоскость $β$.

Однако в общем случае это не обязательно так. Прямая $b$ может быть смещена относительно проекции прямой $a$. В таком случае $HP > 0$, и, следовательно, $h = \sqrt{49 - HP^2} < 7$ см.

Таким образом, утверждение, что расстояние между плоскостями $α$ и $β$ равно 7 см, в общем случае неверно. Это лишь верхняя граница для возможного расстояния.

Ответ: Утверждение неверно.