Страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.8. Докажите, что если проекции двух наклонных, проведённых к плоскости из одной точки, равны, то равны и наклонные.

Пусть из точки $ A $, не принадлежащей плоскости $ \alpha $, проведены две наклонные $ AB $ и $ AC $ к этой плоскости (точки $ B $ и $ C $ лежат в плоскости $ \alpha $). Проведём из точки $ A $ перпендикуляр $ AH $ к плоскости $ \alpha $ (точка $ H $ — основание перпендикуляра).

По определению, отрезок $ HB $ является проекцией наклонной $ AB $ на плоскость $ \alpha $, а отрезок $ HC $ — проекцией наклонной $ AC $ на ту же плоскость.

Согласно условию задачи, проекции этих наклонных равны, то есть $ HB = HC $.

Необходимо доказать, что сами наклонные равны: $ AB = AC $.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $.

Поскольку $ AH $ — перпендикуляр к плоскости $ \alpha $, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $ H $. Следовательно, $ AH \perp HB $ и $ AH \perp HC $. Это означает, что треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $ являются прямоугольными, где $ \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ $.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Катет $ AH $ является общим для обоих треугольников.
2. Катет $ HB $ равен катету $ HC $ по условию ($ HB = HC $).

Таким образом, прямоугольные треугольники $ \triangle AHB $ и $ \triangle AHC $ равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенуза $ AB $ треугольника $ \triangle AHB $ равна гипотенузе $ AC $ треугольника $ \triangle AHC $.

Следовательно, $ AB = AC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

11.9. Докажите, что если точка принадлежит прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр окружности, описанной около многоугольника, то эта точка равноудалена от вершин многоугольника.

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, который лежит в плоскости $\alpha$. Около этого многоугольника описана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению описанной окружности, все вершины многоугольника лежат на ней, и, следовательно, расстояния от центра $O$ до каждой вершины равны радиусу: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.

По условию задачи, дана прямая $l$, которая перпендикулярна плоскости многоугольника $\alpha$ и проходит через центр описанной окружности $O$. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $l$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех вершин многоугольника, то есть что $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Рассмотрим треугольники, образованные точкой $M$, центром $O$ и каждой из вершин многоугольника: $\triangle MOA_1, \triangle MOA_2, ..., \triangle MOA_n$. В этих треугольниках отрезки $MA_i$ являются расстояниями от точки $M$ до вершин.

Поскольку прямая $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($l \perp \alpha$), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения $O$. Все отрезки $OA_i$ (радиусы окружности) лежат в плоскости $\alpha$ и проходят через точку $O$. Следовательно, отрезок $MO$ (как часть прямой $l$) перпендикулярен каждому из отрезков $OA_i$.

Это означает, что все треугольники $\triangle MOA_1, \triangle MOA_2, ..., \triangle MOA_n$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $O$ ($\angle MOA_i = 90^\circ$).

Применим теорему Пифагора к каждому из этих прямоугольных треугольников. Для гипотенузы $MA_i$ любого такого треугольника $\triangle MOA_i$ справедливо равенство: $MA_i^2 = MO^2 + OA_i^2$

Проанализируем правую часть этого равенства. Катет $MO$ является общим для всех рассматриваемых треугольников. Катеты $OA_i$ равны между собой как радиусы одной и той же окружности ($OA_i = R$). Таким образом, для любой вершины $A_i$ мы можем записать: $MA_i^2 = MO^2 + R^2$

Так как правая часть выражения ($MO^2 + R^2$) является постоянной величиной для всех вершин, то и левые части этих равенств равны между собой: $MA_1^2 = MA_2^2 = ... = MA_n^2$.

Поскольку длина отрезка — это положительная величина, из равенства квадратов длин следует и равенство самих длин: $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Таким образом, мы доказали, что любая точка $M$, лежащая на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех вершин этого многоугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

11.10. Расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 4 см. Прямые $m$ и $n$ скрещивающиеся, $m \subset \alpha$, $n \subset \beta$. Чему равно расстояние между прямыми $m$ и $n$?

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен обеим прямым.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $, расстояние между которыми равно 4 см. Прямая $ m $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ m \subset \alpha $), а прямая $ n $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ n \subset \beta $). Прямые $ m $ и $ n $ являются скрещивающимися.

Рассмотрим ортогональную проекцию прямой $ m $ на плоскость $ \beta $. Пусть эта проекция — прямая $ m' $. Поскольку плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, то проекция $ m' $ будет параллельна прямой $ m $ ($ m' \parallel m $). Прямая $ m' $ лежит в плоскости $ \beta $.

Теперь в плоскости $ \beta $ лежат две прямые: $ n $ и $ m' $.Так как по условию прямые $ m $ и $ n $ скрещиваются, они не параллельны.Поскольку $ m' \parallel m $, то прямая $ m' $ также не параллельна прямой $ n $.

Две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Следовательно, прямые $ m' $ и $ n $ пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $ Q_0 $.

Точка $ Q_0 $ принадлежит прямой $ n $ ($ Q_0 \in n $) и прямой $ m' $ ($ Q_0 \in m' $).Так как $ m' $ — это ортогональная проекция прямой $ m $ на плоскость $ \beta $, то для точки $ Q_0 \in m' $ существует единственная точка $ P_0 \in m $, для которой $ Q_0 $ является ортогональной проекцией.

Отрезок $ P_0Q_0 $ по определению ортогональной проекции между параллельными плоскостями перпендикулярен обеим плоскостям: $ P_0Q_0 \perp \alpha $ и $ P_0Q_0 \perp \beta $.Длина этого отрезка равна расстоянию между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, то есть $|P_0Q_0| = 4$ см.

Теперь докажем, что отрезок $ P_0Q_0 $ является общим перпендикуляром к прямым $ m $ и $ n $:

1. Точка $ P_0 $ лежит на прямой $ m $, а точка $ Q_0 $ — на прямой $ n $.
2. Так как $ P_0Q_0 \perp \alpha $ и прямая $ m $ лежит в плоскости $ \alpha $ ($ m \subset \alpha $), то $ P_0Q_0 \perp m $.
3. Так как $ P_0Q_0 \perp \beta $ и прямая $ n $ лежит в плоскости $ \beta $ ($ n \subset \beta $), то $ P_0Q_0 \perp n $.

Следовательно, отрезок $ P_0Q_0 $ является общим перпендикуляром для скрещивающихся прямых $ m $ и $ n $. Расстояние между этими прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Таким образом, расстояние между прямыми $ m $ и $ n $ равно $|P_0Q_0|$, что составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

11.11. Расстояние между скрещивающимися прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, равно 10 см.

Чему равно расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$?

Пусть даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Также даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ — в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ составляет 10 см. Требуется найти расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Обозначим расстояние между прямыми как $d(a, b)$, а расстояние между плоскостями как $d(\alpha, \beta)$. По условию, $d(a, b) = 10$ см.

Расстояние между двумя геометрическими объектами в пространстве — это наименьшее из расстояний между всевозможными парами точек, принадлежащих этим объектам.

Рассмотрим любую точку $M$ на прямой $a$ и любую точку $N$ на прямой $b$. Поскольку $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$, точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$, а точка $N$ — плоскости $\beta$. Расстояние между параллельными плоскостями $d(\alpha, \beta)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую. Длина любого другого отрезка, соединяющего точки этих плоскостей, не может быть меньше этого расстояния. Следовательно, для любых точек $M \in \alpha$ и $N \in \beta$ выполняется неравенство $MN \ge d(\alpha, \beta)$.

Это неравенство верно и для точек, лежащих на прямых $a$ и $b$. Расстояние между прямыми $d(a, b)$ — это минимально возможная длина отрезка $MN$, где $M \in a$ и $N \in b$. Так как для всех таких отрезков $MN \ge d(\alpha, \beta)$, то и для самого короткого из них это будет верно. Таким образом, получаем первое соотношение: $d(a, b) \ge d(\alpha, \beta)$.

Теперь докажем обратное неравенство. Спроектируем ортогонально (перпендикулярно) прямую $a$ на плоскость $\beta$. Проекцией будет являться прямая $a'$, лежащая в плоскости $\beta$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они непараллельны. Проекция $a'$ будет параллельна прямой $a$, следовательно, прямые $a'$ и $b$ также непараллельны. Две непараллельные прямые $a'$ и $b$, лежащие в одной плоскости $\beta$, обязательно пересекутся в некоторой точке $N_0$.

Поскольку точка $N_0$ лежит на проекции $a'$, по определению проекции, существует точка $M_0$ на исходной прямой $a$ такая, что $N_0$ является ее ортогональной проекцией на плоскость $\beta$. Это означает, что отрезок $M_0N_0$ перпендикулярен плоскости $\beta$, и его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, то есть $M_0N_0 = d(\alpha, \beta)$.

Мы нашли пару точек, $M_0 \in a$ и $N_0 \in b$, расстояние между которыми в точности равно расстоянию между плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми $d(a, b)$ по определению является наименьшим из всех возможных расстояний, поэтому оно не может быть больше, чем расстояние $M_0N_0$. Отсюда следует второе соотношение: $d(a, b) \le d(\alpha, \beta)$.

Из двух полученных неравенств, $d(a, b) \ge d(\alpha, \beta)$ и $d(a, b) \le d(\alpha, \beta)$, следует единственно возможный вывод: $d(a, b) = d(\alpha, \beta)$.

Поскольку по условию задачи расстояние между скрещивающимися прямыми равно 10 см, то и расстояние между содержащими их параллельными плоскостями также равно 10 см.

Ответ: 10 см.

11.12. Расстояние между параллельными прямыми, принадлежащими соответственно параллельным плоскостям $\alpha$ и $\beta$, равно 7 см. Верно ли утверждение, что расстояние между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равно 7 см?

Пусть даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$), прямая $a$, принадлежащая плоскости $α$ ($a \subset α$), и прямая $b$, принадлежащая плоскости $β$ ($b \subset β$). По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), и расстояние между ними составляет 7 см. Обозначим расстояние между плоскостями $α$ и $β$ как $h$. Требуется проверить истинность утверждения, что $h = 7$ см.

Выберем произвольную точку $A$ на прямой $a$. Расстояние от точки $A$ до прямой $b$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $b$. Пусть $P$ — основание этого перпендикуляра на прямой $b$. Тогда отрезок $AP$ перпендикулярен прямой $b$ ($AP \perp b$), и его длина равна расстоянию между прямыми, то есть $AP = 7$ см.

Теперь из той же точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $β$. Точка $H$ является ортогональной проекцией точки $A$ на плоскость $β$. По определению, длина отрезка $AH$ равна расстоянию между параллельными плоскостями, то есть $AH = h$.

Рассмотрим три точки: $A$, $H$ и $P$. Точка $A$ находится в плоскости $α$, а точки $H$ и $P$ — в плоскости $β$. Отрезок $AH$ перпендикулярен плоскости $β$. Следовательно, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Прямая $HP$ лежит в плоскости $β$, поэтому $AH \perp HP$. Это означает, что треугольник $AHP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является отрезок $AP$ (расстояние между прямыми), а катетами — отрезки $AH$ (расстояние между плоскостями) и $HP$ (расстояние в плоскости $β$ между проекцией точки $A$ и прямой $b$).

Применим теорему Пифагора к треугольнику $AHP$: $AP^2 = AH^2 + HP^2$.

Подставим известные значения в это уравнение: $7^2 = h^2 + HP^2$, откуда $49 = h^2 + HP^2$.

Из полученного равенства выразим квадрат расстояния между плоскостями: $h^2 = 49 - HP^2$.

Поскольку $HP$ — это длина отрезка, её квадрат $HP^2$ не может быть отрицательным: $HP^2 \ge 0$. Следовательно, $h^2 \le 49$, что означает $h \le 7$ см. То есть расстояние между плоскостями не может быть больше расстояния между прямыми.

Равенство $h = 7$ см будет верным только в том случае, если $HP^2 = 0$, то есть $HP = 0$. Это соответствует ситуации, когда точка $H$ (проекция точки $A$ на плоскость $β$) совпадает с точкой $P$ (основанием перпендикуляра из $A$ на прямую $b$). Такое возможно, если прямая $b$ является ортогональной проекцией прямой $a$ на плоскость $β$.

Однако в общем случае это не обязательно так. Прямая $b$ может быть смещена относительно проекции прямой $a$. В таком случае $HP > 0$, и, следовательно, $h = \sqrt{49 - HP^2} < 7$ см.

Таким образом, утверждение, что расстояние между плоскостями $α$ и $β$ равно 7 см, в общем случае неверно. Это лишь верхняя граница для возможного расстояния.

Ответ: Утверждение неверно.

11.13. На рисунке 11.20 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 2 см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DD_1$.

Рис. 11.20

Прямые $AB$ и $DD_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра, то есть отрезка, который перпендикулярен обеим прямым и концы которого лежат на этих прямых.

Рассмотрим ребро куба $AD$. Точка $A$ принадлежит прямой $AB$, а точка $D$ принадлежит прямой $DD_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, все его грани являются квадратами. В грани (квадрате) $ABCD$ рёбра $AB$ и $AD$ являются смежными, следовательно, они перпендикулярны: $AB \perp AD$. Аналогично, в грани (квадрате) $ADD_1A_1$ рёбра $DD_1$ и $AD$ являются смежными, следовательно, они также перпендикулярны: $DD_1 \perp AD$.

Так как отрезок $AD$ перпендикулярен обеим прямым $AB$ и $DD_1$, он является их общим перпендикуляром. Длина этого отрезка и есть искомое расстояние.

По условию задачи, ребро куба равно 2 см. Длина ребра $AD$ составляет 2 см.

Ответ: 2 см.

11.14. Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle ACB = 90^\circ)$ проведена прямая $AD$, перпендикулярная плоскости $ABC$ (рис. 11.21). Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC$, если $AB = 10$ см, $\angle BAC = 45^\circ$.

Рис. 11.21

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим прямые AD и BC.

По условию, прямая AD перпендикулярна плоскости ABC ($AD \perp (ABC)$). Прямая AC лежит в плоскости ABC, следовательно, прямая AD перпендикулярна прямой AC ($AD \perp AC$).

Также по условию, треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C ($\angle ACB = 90^\circ$). Это означает, что прямая AC перпендикулярна прямой BC ($AC \perp BC$).

Поскольку отрезок AC перпендикулярен обеим прямым AD и BC, он является их общим перпендикуляром. Следовательно, искомое расстояние между прямыми AD и BC равно длине отрезка AC.

Найдем длину катета AC в прямоугольном треугольнике ABC. Нам известна гипотенуза $AB = 10$ см и прилежащий угол $\angle BAC = 45^\circ$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $ \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} $

Выразим из этой формулы AC: $ AC = AB \cdot \cos(\angle BAC) $

Подставим числовые значения: $ AC = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} $ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.