Страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.1. На рисунке 11.16 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $C_1D$ на плоскость:

1) $ABC$;

2) $BB_1C$;

3) $AA_1B_1$.

Рис. 11.16

Проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий проекции его концов на эту плоскость. Нам нужно найти проекцию отрезка $C_1D$ на три разные плоскости.

1) ABC;

Найдем проекции концов отрезка $C_1D$ на плоскость $ABC$ (нижнее основание куба).
Проекцией точки $C_1$ на плоскость $ABC$ является основание перпендикуляра, опущенного из $C_1$ на эту плоскость. В кубе ребро $C_1C$ перпендикулярно плоскости $ABC$, следовательно, проекцией точки $C_1$ является точка $C$.
Точка $D$ уже лежит в плоскости $ABC$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $D$.
Таким образом, проекцией отрезка $C_1D$ на плоскость $ABC$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $CD$.
Ответ: $CD$.

2) BB₁C;

Найдем проекции концов отрезка $C_1D$ на плоскость $BB_1C$ (правая боковая грань куба, также обозначаемая $BB_1C_1C$).
Точка $C_1$ принадлежит плоскости $BB_1C$, значит, ее проекция совпадает с самой точкой $C_1$.
Найдем проекцию точки $D$ на плоскость $BB_1C$. Ребро $DC$ перпендикулярно ребру $BC$ и ребру $C_1C$, которые лежат в плоскости $BB_1C$ и пересекаются. Следовательно, ребро $DC$ перпендикулярно всей плоскости $BB_1C$. Это означает, что проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $C$.
Таким образом, проекцией отрезка $C_1D$ на плоскость $BB_1C$ является отрезок, соединяющий точки $C_1$ и $C$, то есть отрезок $C_1C$.
Ответ: $C_1C$.

3) AA₁B₁;

Найдем проекции концов отрезка $C_1D$ на плоскость $AA_1B_1$ (передняя боковая грань куба, также обозначаемая $AA_1B_1B$).
Найдем проекцию точки $C_1$. Ребро $C_1B_1$ перпендикулярно ребру $A_1B_1$ и ребру $B_1B$. Следовательно, ребро $C_1B_1$ перпендикулярно плоскости $AA_1B_1$. Значит, проекцией точки $C_1$ на эту плоскость является точка $B_1$.
Найдем проекцию точки $D$. Ребро $DA$ перпендикулярно ребру $AB$ и ребру $A_1A$. Следовательно, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $AA_1B_1$. Значит, проекцией точки $D$ на эту плоскость является точка $A$.
Таким образом, проекцией отрезка $C_1D$ на плоскость $AA_1B_1$ является отрезок, соединяющий точки $B_1$ и $A$, то есть отрезок $AB_1$.
Ответ: $AB_1$.

11.2. На рисунке 11.17 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость: 1) $A_1B_1C_1$; 2) $CDD_1$; 3) $AA_1D_1$.

Рис. 11.17

Ортогональной проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Чтобы найти проекцию отрезка $DB_1$ на заданные плоскости, мы найдем проекции его конечных точек $D$ и $B_1$ на каждую из этих плоскостей.

1) $A_1B_1C_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$.

• Проекция точки $B_1$: Так как точка $B_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $B_1$.
• Проекция точки $D$: В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, точка $D_1$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Таким образом, проекция точки $D$ на эту плоскость есть точка $D_1$.

Соединяя проекции точек $D$ и $B_1$, получаем отрезок $D_1B_1$. Это и есть искомая проекция.

Ответ: $D_1B_1$.

2) $CDD_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.

• Проекция точки $D$: Так как точка $D$ принадлежит плоскости $CDD_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $D$.
• Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Это следует из того, что $B_1C_1 \perp C_1D_1$ (так как верхняя грань — прямоугольник) и $B_1C_1 \perp CC_1$ (так как боковая грань — прямоугольник). Поскольку прямая $B_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $CDD_1$ является точка $C_1$.

Проекцией отрезка $DB_1$ на плоскость $CDD_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $DC_1$.

Ответ: $DC_1$.

3) $AA_1D_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость боковой грани $AA_1D_1$.

• Проекция точки $D$: Так как точка $D$ принадлежит плоскости $AA_1D_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $D$.
• Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $AA_1D_1D$. Это следует из того, что $A_1B_1 \perp A_1D_1$ (так как верхняя грань — прямоугольник) и $A_1B_1 \perp AA_1$ (так как передняя грань — прямоугольник). Поскольку прямая $A_1B_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1D_1$, она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $AA_1D_1$ является точка $A_1$.

Проекцией отрезка $DB_1$ на плоскость $AA_1D_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $DA_1$.

Ответ: $DA_1$.

11.3. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12 см и наклонная длиной 13 см. Найдите проекцию этой наклонной на данную плоскость.

Пусть из точки A, не лежащей в плоскости α, к этой плоскости проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. Длина перпендикуляра AB составляет 12 см, а длина наклонной AC — 13 см.

Проекцией наклонной AC на плоскость α является отрезок BC, который соединяет основание перпендикуляра (точку B) и основание наклонной (точку C).

Перпендикуляр AB, наклонная AC и её проекция BC образуют прямоугольный треугольник ABC. Угол B в этом треугольнике прямой ($∠ABC = 90^\circ$), так как отрезок AB перпендикулярен плоскости α и, следовательно, любой прямой, лежащей в этой плоскости (включая прямую BC).

В прямоугольном треугольнике ABC:
• AC — гипотенуза (длина наклонной), $AC = 13$ см.
• AB — катет (длина перпендикуляра), $AB = 12$ см.
• BC — второй катет (длина проекции), которую необходимо найти.

Для нахождения длины катета BC воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Выразим из этой формулы квадрат искомой стороны BC:
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
Подставим числовые значения:
$BC^2 = 13^2 - 12^2$
$BC^2 = 169 - 144$
$BC^2 = 25$
Теперь найдем длину BC, извлекая квадратный корень:
$BC = \sqrt{25}$
$BC = 5$ см.

Ответ: 5 см.

11.4. Из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр и наклонная длиной $\sqrt{7}$ см. Проекция данной наклонной на плоскость $\alpha$ равна $\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки A до плоскости $\alpha$.

Пусть из точки A на плоскость α опущен перпендикуляр AH и проведена наклонная AB. Тогда отрезок HB является проекцией наклонной AB на плоскость α. Расстояние от точки A до плоскости α равно длине перпендикуляра AH.

По условию задачи известны:

• длина наклонной $AB = \sqrt{7}$ см;
• длина проекции $HB = \sqrt{3}$ см.

Треугольник AHB является прямоугольным, так как AH — перпендикуляр к плоскости α, а значит, угол AHB — прямой ($90^\circ$). В этом треугольнике AB — гипотенуза, а AH и HB — катеты.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Чтобы найти длину катета AH (расстояние от точки до плоскости), выразим его из формулы:

$AH^2 = AB^2 - HB^2$

Подставим известные значения в формулу:

$AH^2 = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2$

$AH^2 = 7 - 3$

$AH^2 = 4$

$AH = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

11.5. Из точки $A$ проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр $AC$ и наклонные $AB$ и $AD$ (рис. 11.18). Найдите проекцию наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$, если $\angle BAC = 45^\circ$, $AB = 8$ см, $AD = 9$ см.

Рис. 11.18

По условию задачи, $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. Это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $C$. В частности, $AC \perp BC$ и $AC \perp CD$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

Проекцией наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CD$. Чтобы найти его длину, нам сначала нужно определить длину перпендикуляра $AC$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. Нам известны гипотенуза $AB = 8$ см и острый угол $\angle BAC = 45^\circ$. Длина катета $AC$, прилежащего к этому углу, находится через косинус:

$ \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} $

Отсюда находим $AC$:

$ AC = AB \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $AD = 9$ см и длина катета $AC = 4\sqrt{2}$ см. Второй катет $CD$ и является искомой проекцией. Найдем его длину с помощью теоремы Пифагора:

$ AD^2 = AC^2 + CD^2 $

Выразим $CD^2$:

$ CD^2 = AD^2 - AC^2 $

Подставим известные значения:

$ CD^2 = 9^2 - (4\sqrt{2})^2 = 81 - (16 \cdot 2) = 81 - 32 = 49 $

Найдем длину $CD$:

$ CD = \sqrt{49} = 7 $ см.

Ответ: 7 см.

11.6. Из точки $M$ проведены к плоскости $\alpha$ перпендикуляр $MH$ и наклонные $MA$ и $MB$ (рис. 11.19). Найдите наклонную $MA$, если $BH = 6\sqrt{6}$ см, $MB = 18$ см, $\angle MAH = 60^\circ$.

Рис. 11.19

Поскольку $MH$ — перпендикуляр к плоскости $α$, а $MA$ и $MB$ — наклонные, то отрезок $MH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $α$, проходящей через точку $H$. Таким образом, треугольники $MHB$ и $MHA$ являются прямоугольными, с прямыми углами $∠MHB = 90°$ и $∠MHA = 90°$.

1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $MHB$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $MB^2 = MH^2 + BH^2$. Мы можем использовать это соотношение для нахождения длины перпендикуляра $MH$.
Выразим $MH^2$:
$MH^2 = MB^2 - BH^2$
Подставим известные значения: $MB = 18$ см и $BH = 6\sqrt{6}$ см.
$MH^2 = 18^2 - (6\sqrt{6})^2 = 324 - (36 \cdot 6) = 324 - 216 = 108$
$MH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MHA$. В этом треугольнике нам известны катет $MH = 6\sqrt{3}$ см и противолежащий ему угол $∠MAH = 60°$. Наклонная $MA$ является гипотенузой этого треугольника.
Для нахождения гипотенузы $MA$ воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(∠MAH) = \frac{MH}{MA}$
Отсюда выразим искомую наклонную $MA$:
$MA = \frac{MH}{\sin(∠MAH)}$
Подставим числовые значения, зная, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$MA = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

11.7. Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ к плоскости $\alpha$ две равные наклонные $AB$ и $AC$. Это означает, что $AB = AC$, где точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$.

Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$, где $H$ — основание перпендикуляра. По определению, отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$. Нам необходимо доказать, что проекции равны, то есть $HB = HC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

Поскольку $AH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными, и их прямой угол находится при вершине $H$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Гипотенузы $AB$ и $AC$ равны по условию ($AB = AC$).
2. Катет $AH$ является общим для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $HB$ треугольника $\triangle AHB$ равен катету $HC$ треугольника $\triangle AHC$.

$HB = HC$.

Так как $HB$ и $HC$ являются проекциями равных наклонных $AB$ и $AC$, мы доказали, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, имеют равные проекции. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.