Номер 11.2, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.2. На рисунке 11.17 изображён прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите проекцию отрезка $DB_1$ на плоскость: 1) $A_1B_1C_1$; 2) $CDD_1$; 3) $AA_1D_1$.

Рис. 11.17

Ортогональной проекцией отрезка на плоскость является отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на эту плоскость. Чтобы найти проекцию отрезка $DB_1$ на заданные плоскости, мы найдем проекции его конечных точек $D$ и $B_1$ на каждую из этих плоскостей.

1) $A_1B_1C_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$.

• Проекция точки $B_1$: Так как точка $B_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $B_1$.
• Проекция точки $D$: В прямоугольном параллелепипеде боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, точка $D_1$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $A_1B_1C_1$. Таким образом, проекция точки $D$ на эту плоскость есть точка $D_1$.

Соединяя проекции точек $D$ и $B_1$, получаем отрезок $D_1B_1$. Это и есть искомая проекция.

Ответ: $D_1B_1$.

2) $CDD_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость боковой грани $CDD_1$.

• Проекция точки $D$: Так как точка $D$ принадлежит плоскости $CDD_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $D$.
• Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$. Это следует из того, что $B_1C_1 \perp C_1D_1$ (так как верхняя грань — прямоугольник) и $B_1C_1 \perp CC_1$ (так как боковая грань — прямоугольник). Поскольку прямая $B_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $CDD_1$, она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $CDD_1$ является точка $C_1$.

Проекцией отрезка $DB_1$ на плоскость $CDD_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $DC_1$.

Ответ: $DC_1$.

3) $AA_1D_1$

Найдем проекции точек $D$ и $B_1$ на плоскость боковой грани $AA_1D_1$.

• Проекция точки $D$: Так как точка $D$ принадлежит плоскости $AA_1D_1$, ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $D$.
• Проекция точки $B_1$: В прямоугольном параллелепипеде ребро $A_1B_1$ перпендикулярно грани $AA_1D_1D$. Это следует из того, что $A_1B_1 \perp A_1D_1$ (так как верхняя грань — прямоугольник) и $A_1B_1 \perp AA_1$ (так как передняя грань — прямоугольник). Поскольку прямая $A_1B_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $AA_1D_1$, она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на плоскость $AA_1D_1$ является точка $A_1$.

Проекцией отрезка $DB_1$ на плоскость $AA_1D_1$ является отрезок, соединяющий проекции его концов, то есть отрезок $DA_1$.

Ответ: $DA_1$.