Номер 10.52, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.52. Основанием пирамиды $SABCD$ является трапеция $ABCD$ $(BC \parallel AD)$, в которой $AB = BC = CD = 1$ см, $AD = 2$ см. Ребро $SD$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 4 см. Точка $M$ — середина ребра $AS$. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и перпендикулярной прямой $AC$. Найдите площадь этого сечения.

Для начала проанализируем основание пирамиды — трапецию $ABCD$. Так как $AB=BC=CD=1$ см, трапеция является равнобокой. Опустим высоты $BH_1$ и $CH_2$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $BCH_2H_1$, поэтому $H_1H_2 = BC = 1$ см. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AH_1$ и $H_2D$ равны: $AH_1 = H_2D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2-1}{2} = 0.5$ см. Найдем высоту трапеции $h = CH_2$ из прямоугольного треугольника $CH_2D$: $h = CH_2 = \sqrt{CD^2 - H_2D^2} = \sqrt{1^2 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ACH_2$, в котором $AH_2 = AD - H_2D = 2 - 0.5 = 1.5$ см. $AC^2 = AH_2^2 + CH_2^2 = (1.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2.25 + 0.75 = 3$. Следовательно, $AC = \sqrt{3}$ см.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой АС.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, $M \in \alpha$ и $\alpha \perp AC$. Так как ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то $SD \perp AC$. Рассмотрим $\triangle SAD$. Он прямоугольный, так как $SD \perp AD$. Точка $M$ — середина гипотенузы $AS$. Спроектируем точку $M$ на плоскость основания $(ABC)$. Так как $SD \perp (ABC)$, то проекцией ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $AD$. Проекция $M$ — точки $N$ — будет серединой отрезка $AD$. Таким образом, точка $N$ — середина $AD$.

Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Так как секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$ ($\alpha \perp AC$), то $\alpha$ перпендикулярна любой плоскости, содержащей $AC$, в частности, плоскости основания $(ABC)$, если вектор нормали к $\alpha$ лежит в $(ABC)$. Вектор нормали к $\alpha$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$, который лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Так как $\alpha \perp (ABC)$ и $M \in \alpha$, а $N$ — проекция $M$ на $(ABC)$, то прямая $MN$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ и лежит в плоскости $\alpha$. Пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точку $N$ и перпендикулярная $AC$. Обозначим эту прямую $l$.

Найдем положение прямой $l$ в трапеции $ABCD$. Введем систему координат в плоскости основания: $D$ — начало координат $(0,0)$, ось $x$ направим вдоль $DA$. Тогда $A(2,0)$. Так как $H_2D=0.5$ и $CH_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $C(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Точка $N$ — середина $AD$, ее координаты $N(1,0)$. Координаты точки $B$: $B(AD - AH_1, BH_1) = B(2 - 0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}) = B(1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(0.5-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0) = (-1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Проверим, проходит ли прямая $l$, проведенная через $N(1,0)$ перпендикулярно $AC$, через точку $B$. Вектор $\vec{NB}$ имеет координаты $(1.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{NB}$: $\vec{AC} \cdot \vec{NB} = (-1.5) \cdot 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.75 + \frac{3}{4} = -0.75 + 0.75 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит прямая $NB$ перпендикулярна $AC$. Следовательно, прямая $l$ — это прямая $NB$.

Итак, линия пересечения секущей плоскости с основанием пирамиды — это отрезок $NB$. Так как плоскость сечения $\alpha$ проходит через прямую $MN$ и отрезок $NB$, то она содержит точки $M, N, B$. Вершинами сечения являются точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами пирамиды.

• Плоскость пересекает ребро $AD$ в точке $N$.
• Плоскость пересекает ребро $AB$ в точке $B$.
• Плоскость пересекает ребро $SA$ в точке $M$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MBN$.

Ответ: Сечением является треугольник $MBN$, где $N$ — середина ребра $AD$.

Найдите площадь этого сечения.

Сечением является треугольник $MBN$. Так как $N$ — проекция точки $M$ на плоскость основания $(ABC)$, то отрезок $MN$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Поскольку отрезок $NB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $MN \perp NB$. Следовательно, треугольник $MBN$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $N$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NB$.

Найдем длины катетов $MN$ и $NB$. 1. В прямоугольном треугольнике $SAD$ ($SD \perp AD$) точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AS$ и $AD$ соответственно. Значит, $MN$ — средняя линия треугольника $SAD$. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны $SD$. $MN = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

2. Длину катета $NB$ найдем в плоскости основания. Используем ранее введенные координаты: $N(1,0)$ и $B(1.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$. $NB = \sqrt{(1.5-1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0.25 + 0.75} = \sqrt{1} = 1$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения: $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см².

Ответ: $1$ см².