Номер 10.49, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.49. Основанием пирамиды $SABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $4\sqrt{2}$ см. Ребро $SC$ перпендикулярно плоскости основания и равно $2$ см. Точки $M$ и $K$ — середины рёбер $BC$ и $AB$ соответственно. Найдите угол между прямыми $SM$ и $SK$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SM и CK воспользуемся методом координат. Для этого введем прямоугольную систему координат.

1. Построение системы координат и определение координат точек.
Поместим начало координат в точку C. Направим ось Oz вдоль ребра SC, так как SC перпендикулярно плоскости основания. Направим ось Ox вдоль луча CB. Тогда плоскость Oxy будет совпадать с плоскостью основания ABC.
В данной системе координат:

• Точка C, как начало координат, имеет координаты C(0; 0; 0).
• Так как ребро SC перпендикулярно плоскости основания и его длина равна 2, координаты точки S будут S(0; 0; 2).
• Точка B лежит на оси Ox, а длина стороны основания $BC = 4\sqrt{2}$. Следовательно, координаты точки B: B($4\sqrt{2}$; 0; 0).
• Точка A лежит в плоскости Oxy. Обозначим ее координаты как A(x; y; 0). Поскольку треугольник ABC равносторонний, то $AC = AB = 4\sqrt{2}$. Составим систему уравнений, используя формулу расстояния между двумя точками:
  $AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2+y^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
  $AB^2 = (x-4\sqrt{2})^2 + (y-0)^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$
  Раскроем второе уравнение: $x^2 - 8\sqrt{2}x + 32 + y^2 = 32$.
  Подставим $x^2 + y^2 = 32$ в это уравнение: $32 - 8\sqrt{2}x + 32 = 32$, что упрощается до $32 - 8\sqrt{2}x = 0$.
  Отсюда находим x: $x = \frac{32}{8\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
  Теперь найдем y: $y^2 = 32 - x^2 = 32 - (2\sqrt{2})^2 = 32 - 8 = 24$. Выбираем положительное значение для y (это не влияет на общность решения): $y = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
  Таким образом, координаты точки A: A($2\sqrt{2}$; $2\sqrt{6}$; 0).
• Точка M — середина ребра BC. Ее координаты:
  $M\left(\frac{0+4\sqrt{2}}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (2\sqrt{2}; 0; 0)$
• Точка K — середина ребра AB. Ее координаты:
  $K\left(\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}; \frac{2\sqrt{6}+0}{2}; \frac{0+0}{2}\right) = (3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0)$

2. Нахождение векторов и угла между ними.
Теперь определим координаты векторов $\vec{SM}$ и $\vec{CK}$:
$\vec{SM} = \{M_x - S_x; M_y - S_y; M_z - S_z\} = \{2\sqrt{2} - 0; 0 - 0; 0 - 2\} = \{2\sqrt{2}; 0; -2\}$
$\vec{CK} = \{K_x - C_x; K_y - C_y; K_z - C_z\} = \{3\sqrt{2} - 0; \sqrt{6} - 0; 0 - 0\} = \{3\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0\}$

Угол $\alpha$ между прямыми SM и CK найдем как угол между соответствующими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{SM} \cdot \vec{CK}|}{|\vec{SM}| \cdot |\vec{CK}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{SM} \cdot \vec{CK} = (2\sqrt{2})(3\sqrt{2}) + (0)(\sqrt{6}) + (-2)(0) = 6 \cdot 2 = 12$

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{SM}| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$|\vec{CK}| = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{18 + 6} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{12}{4\sqrt{18}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$