Номер 10.48, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.48. Точка $E$ — середина ребра $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $A_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D и осями, направленными вдоль ребер DA (ось Ox), DC (ось Oy) и DD₁ (ось Oz).

Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты необходимых нам точек будут следующими:

• Координаты точки A: $(a, 0, 0)$
• Координаты точки B₁: $(a, a, a)$
• Координаты точки A₁: $(a, 0, a)$
• Координаты точки D₁: $(0, 0, a)$

Точка E является серединой ребра DD₁. Ее координаты равны полусумме координат точек D(0, 0, 0) и D₁(0, 0, a):

E = $(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = (0, 0, \frac{a}{2})$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых AB₁ и A₁E.

Для прямой AB₁ возьмем вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = (a-a; a-0; a-0) = (0, a, a)$

Для прямой A₁E возьмем вектор $\vec{v_2} = \vec{A_1E}$:

$\vec{A_1E} = (0-a; 0-0; \frac{a}{2}-a) = (-a, 0, -\frac{a}{2})$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot (-a) + a \cdot 0 + a \cdot (-\frac{a}{2}) = -\frac{a^2}{2}$

2. Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{|-\frac{a^2}{2}|}{a\sqrt{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{10}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$