Номер 10.45, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.45. В тетраэдре $DABC$ ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ABC$.

Известно, что $AB = BC = CA = BD$. Точка $M$ — середина ребра $BC$.

Плоскость, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $AD$, пересекает ребро $AD$ в точке $K$. Найдите отношение $AK : KD$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базис с началом в точке $B$. Обозначим векторы $\vec{BA} = \vec{p}$, $\vec{BC} = \vec{q}$, $\vec{BD} = \vec{r}$.

Пусть длина ребра $AB = BC = CA = BD = a$. Тогда длины (модули) наших базисных векторов равны:

$|\vec{p}| = a$, $|\vec{q}| = a$, $|\vec{r}| = a$.

Из условия задачи известны следующие свойства:

1. Треугольник $ABC$ — равносторонний, следовательно, угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $60^\circ$. Найдем их скалярное произведение: $\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| \cdot |\vec{q}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
2. Ребро $BD$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что вектор $\vec{r}$ перпендикулярен векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, их скалярные произведения равны нулю: $\vec{p} \cdot \vec{r} = 0$ и $\vec{q} \cdot \vec{r} = 0$.
3. Скалярные квадраты векторов равны квадратам их длин: $\vec{p} \cdot \vec{p} = a^2$, $\vec{q} \cdot \vec{q} = a^2$, $\vec{r} \cdot \vec{r} = a^2$.

Точка $M$ — середина ребра $BC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{BM}$ равен $\frac{1}{2}\vec{q}$.

Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M$, перпендикулярна прямой $AD$. Следовательно, вектор $\vec{AD}$ является нормальным вектором к этой плоскости. Выразим вектор $\vec{AD}$ через наш базис:

$\vec{AD} = \vec{BD} - \vec{BA} = \vec{r} - \vec{p}$.

Точка $K$ лежит на ребре $AD$. Это означает, что вектор $\vec{AK}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$. Можно записать $\vec{AK} = t \cdot \vec{AD}$ для некоторого скаляра $t \in (0, 1)$. Искомое отношение $AK:KD$ равно $t : (1-t)$. Наша задача — найти значение $t$.

Выразим радиус-вектор точки $K$, то есть вектор $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK} = \vec{p} + t \cdot \vec{AD} = \vec{p} + t(\vec{r} - \vec{p}) = (1-t)\vec{p} + t\vec{r}$.

Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$. Значит, вектор $\vec{MK}$ лежит в этой плоскости. Так как вектор $\vec{AD}$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то вектор $\vec{MK}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AD}$. Это условие в векторной форме записывается как равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{MK} \cdot \vec{AD} = 0$.

Найдем вектор $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \vec{BK} - \vec{BM} = ((1-t)\vec{p} + t\vec{r}) - \frac{1}{2}\vec{q}$.

Теперь подставим выражения для $\vec{MK}$ и $\vec{AD}$ в уравнение скалярного произведения:

$((1-t)\vec{p} + t\vec{r} - \frac{1}{2}\vec{q}) \cdot (\vec{r} - \vec{p}) = 0$.

Раскроем скобки, используя свойства дистрибутивности скалярного произведения:

$(1-t)(\vec{p} \cdot \vec{r}) - (1-t)(\vec{p} \cdot \vec{p}) + t(\vec{r} \cdot \vec{r}) - t(\vec{r} \cdot \vec{p}) - \frac{1}{2}(\vec{q} \cdot \vec{r}) + \frac{1}{2}(\vec{q} \cdot \vec{p}) = 0$.

Подставим известные значения скалярных произведений:

$(1-t) \cdot 0 - (1-t)a^2 + t \cdot a^2 - t \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = 0$.

Упростим полученное выражение:

$-(1-t)a^2 + ta^2 + \frac{a^2}{4} = 0$.

Поскольку $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a^2$:

$-(1-t) + t + \frac{1}{4} = 0$

$-1 + t + t + \frac{1}{4} = 0$

$2t - \frac{3}{4} = 0$

$2t = \frac{3}{4}$

$t = \frac{3}{8}$.

Таким образом, точка $K$ делит отрезок $AD$ так, что $AK = \frac{3}{8} AD$. Соответственно, $KD = (1 - \frac{3}{8})AD = \frac{5}{8}AD$.

Найдем искомое отношение:

$AK : KD = \frac{3}{8} : \frac{5}{8} = 3 : 5$.

Ответ: $3 : 5$.